Sea $F([x,x_2,...x_n],...[y,y_2,...y_n])=[z,z_2,....z_n]$ denota una función con $2$ parámetros, cada uno es un vector que contiene $n$ variables. Sea $U_k$ definirse mediante la siguiente relación de recurrencia:
$U_k = F([x,x_2,...x_n],U_{k-1})$ donde el valor inicial $U_1=[x,x_2,...x_n]$ .
Sea $U_{k,k_2} = F(U_k,U_{k_2})$
¿Cómo puedo determinar si $F$ es una función tal que
$U_{k,k_2} = U_{k+k_2}$
se mantendrá para todos los números enteros $k$ y $k_2$ ? Además, ¿cómo puedo construir uno en el que el número de variables $n$ es un número entero fijo?
No estoy seguro de la terminología adecuada para este tipo de funciones, pero por ahora, me referiré a ellas como "completamente aditivas" porque las propiedades de adición que implican $U_{k,k_2}, U_k, U_{k_2}$ aguantará.
Ejemplos sencillos de funciones completamente aditivas son la suma:
$F(x,y)=x+y$
$U_1 = x$ , $U_2 = F(x,x) = 2x$ , $U_3= F(x,2x) = 3x,...$
$U_{k}=kx$
$U_{k,k_2}=F(U_k, U_{k_2}) = F(kx, k_2x) = (k + k_2)x$
y la multiplicación:
$F(x,y)=x\times y$
$U_1 = x$ , $U_2 = F(x,x) = x^2$ , $U_3= F(x,x^2) = x^3,...$
$U_{k}=x^k$
$U_{k,k_2}=F(U_k, U_{k_2}) = F(x^k, x^{k_2}) = x^{k+k_2}$
He aquí otro ejemplo de función completamente aditiva en la que intervienen cuatro variables (se deriva de la multiplicación de matrices):
$F([a,b,c,d],[e,f,g,h])=[ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh]$
Sin embargo, cuando los "productos punto" se reordenan, en algunos casos, $F$ ya no es una función completamente aditiva. Por ejemplo,
$F([a,b,c,d],[e,f,g,h])=[ae+ch, af+bg, bf+dh, cg+de]$
no es completamente aditivo.
Ya sé que la multiplicación de matrices no es comentable, así que exigir que $F$ sea una función comunitiva no es imprescindible para que sea una función completamente aditiva. Entonces queda la pregunta, ¿qué propiedades debería tener $F$ para que sea completamente aditivo?
