Determinar si las funciones son "completamente aditivas"

Question

Sea $F([x,x_2,...x_n],...[y,y_2,...y_n])=[z,z_2,....z_n]$ denota una función con $2$ parámetros, cada uno es un vector que contiene $n$ variables. Sea $U_k$ definirse mediante la siguiente relación de recurrencia:

$U_k = F([x,x_2,...x_n],U_{k-1})$ donde el valor inicial $U_1=[x,x_2,...x_n]$ .

Sea $U_{k,k_2} = F(U_k,U_{k_2})$

¿Cómo puedo determinar si $F$ es una función tal que

$U_{k,k_2} = U_{k+k_2}$

se mantendrá para todos los números enteros $k$ y $k_2$ ? Además, ¿cómo puedo construir uno en el que el número de variables $n$ es un número entero fijo?

No estoy seguro de la terminología adecuada para este tipo de funciones, pero por ahora, me referiré a ellas como "completamente aditivas" porque las propiedades de adición que implican $U_{k,k_2}, U_k, U_{k_2}$ aguantará.

Ejemplos sencillos de funciones completamente aditivas son la suma:

$F(x,y)=x+y$

$U_1 = x$ , $U_2 = F(x,x) = 2x$ , $U_3= F(x,2x) = 3x,...$

$U_{k}=kx$

$U_{k,k_2}=F(U_k, U_{k_2}) = F(kx, k_2x) = (k + k_2)x$

y la multiplicación:

$F(x,y)=x\times y$

$U_1 = x$ , $U_2 = F(x,x) = x^2$ , $U_3= F(x,x^2) = x^3,...$

$U_{k}=x^k$

$U_{k,k_2}=F(U_k, U_{k_2}) = F(x^k, x^{k_2}) = x^{k+k_2}$

He aquí otro ejemplo de función completamente aditiva en la que intervienen cuatro variables (se deriva de la multiplicación de matrices):

$F([a,b,c,d],[e,f,g,h])=[ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh]$

Sin embargo, cuando los "productos punto" se reordenan, en algunos casos, $F$ ya no es una función completamente aditiva. Por ejemplo,

$F([a,b,c,d],[e,f,g,h])=[ae+ch, af+bg, bf+dh, cg+de]$

no es completamente aditivo.

Ya sé que la multiplicación de matrices no es comentable, así que exigir que $F$ sea una función comunitiva no es imprescindible para que sea una función completamente aditiva. Entonces queda la pregunta, ¿qué propiedades debería tener $F$ para que sea completamente aditivo?

Answer 1

Ampliando ambos lados de $U_{k,k_2} = U_{k+k_2}$ da

$$F(U_k,U_{k_2}) = F(U_1,U_{k+k_2-1})$$

Utilizando $k=2$ da

$$F(U_2,U_{k_2}) = F(U_1,U_{k_2+1})$$

$$F(F(U_1,U_1),U_{k_2}) = F(U_1,F(U_1,U_{k_2}))$$

Porque $U_1$ y $U_{k_2}$ puede ser cualquier cosa, esto puede verse como una forma especial de la propiedad asociativa en la que las dos primeras variables son iguales.

De forma similar a $k=2$ para cualquier $k$ la fórmula puede expandirse a ambos lados a un lío de $k$ casos de $F$ , $k$ casos de $U_1$ y una $U_{k_2}$ al final. Por nuestra propiedad asociativa modificada, estos $F$ s y $U_1$ s pueden disponerse en cualquier orden. Por lo tanto, ambos lados son iguales. Esto significa que la propiedad asociativa modificada es necesaria y suficiente para demostrar que $F$ es completamente aditivo.

No estoy seguro de si la versión modificada es equivalente a la propiedad asociativa original.