Estimación bayesiana de la velocidad de desplazamiento

Question

Supongamos que estamos en 1800 y usted acaba de ser contratado como capitán por una compañía naviera que transporta regularmente mercancías entre Londres y Nueva York. La distancia entre Londres y Nueva York es de 3.000 millas náuticas. Su patrón le dice que, por término medio, el viaje entre Londres y Nueva York dura 10 semanas, por lo que la velocidad media de sus barcos es de 300 nm/semana. Sin embargo, como los barcos navegan a vela (aún no se ha inventado el barco de vapor), hay una gran variación en la velocidad de sus barcos. De hecho, su jefe le dice que las velocidades de sus barcos en los viajes entre Londres y Nueva York se distribuyen normalmente, con una velocidad media de 300 nm/semana y una desviación típica de 50 nm/semana.

En tu primer viaje, tú y yo acordamos pasar el tiempo estimando cada semana cuál será la velocidad final de nuestro viaje. Cada semana sabemos cuántas semanas llevamos viajando en total y cuántas millas náuticas de las 3.000 originales nos separan de Nueva York. Por ejemplo, después de dos semanas nos quedan 2.500 millas náuticas para llegar a Nueva York, por lo que nuestra velocidad actual es:

(3,000nm-2,500nm)/2weeks = 250nm/week.

¿Cuál es la mejor manera de estimar la velocidad final de todo el viaje utilizando únicamente la distribución previa de las velocidades medias (media = 300 nm/semana, desviación típica = 50 nm/semana), la distancia restante y el número de semanas recorridas?

¿Cómo podemos estimar la varianza de nuestra velocidad final para todo el viaje?

Tenga en cuenta que querremos actualizar nuestra estimación cada semana basándonos en la nueva información de lo lejos que hemos viajado.

Answer 1

Parece que este problema no está completamente especificado. En concreto, hay que distinguir entre la variabilidad dentro de un mismo barco y la variabilidad entre barcos. La variabilidad dentro de un mismo barco es la variación de la velocidad de un barco en el tiempo, mientras que la variabilidad entre barcos es la variación de la relación entre el tiempo y la velocidad de un barco a otro. En concreto, no me queda claro si "su empleador" se refiere a la variabilidad interna o externa de la distribución normal que describe.

Por cierto, sigues escribiendo "velocidad", pero parece que quieres decir "rapidez", ya que aquí no estamos considerando la dirección de movimiento de las naves. La velocidad de un objeto comprende su rapidez y su dirección de movimiento.

Edita: Por su comentario, parece que el empleador sólo informa de la distribución de los tiempos de viaje (divididos por la longitud del viaje, 3.000 millas náuticas, para obtener las velocidades medias), y usted supone que todos los buques tienen la misma distribución de los tiempos de viaje. También parece que, aunque sabemos que los buques aceleran y ralentizan bastante, por no mencionar que cambian de dirección, no tenemos mucha información sobre el patrón de esto a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si hoy el barco va especialmente rápido, mañana es más probable que vaya rápido que lento. Pero no tenemos datos de viajes anteriores, así que supongamos que no. Entonces, en el problema de mitad de viaje, cuando estimamos la velocidad a la que irá el barco durante el resto del viaje, podemos ignorar el rendimiento anterior del barco; sólo necesitamos saber cuánta distancia queda del viaje y multiplicarla por la distribución de velocidades medias.

Por lo tanto, el tiempo de finalización posterior para todo el viaje es simplemente

$T = t_0 + \frac{3,000\text{ mni} - d}{X}$

donde $t_0$ es el tiempo empleado hasta el momento, $d$ es la distancia recorrida hasta el momento, y $X \sim \operatorname{Normal}(300\text{ nmi / week}, 50\text{ nmi / week})$ . La velocidad media posterior es entonces $3,000\text{ nmi} / T$ .