Sea $a,b,c \in \mathbb{Z} \backslash \{ 0\}$ . Demostrar que existe $x$ , $y$ tal que $ax+by=c$ sólo si $(a,b)|c$

Question

El título lo dice todo. Intenté la inducción inversa, pero era demasiado enrevesado, así que pensé que probablemente no era la mejor manera de demostrarlo.

Answer 1

Sea $(a,b) = g$ .

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Supongamos que $g \mid c$ .

Entonces existe $x',y' \in \mathbb Z$ tal que $ax' + by' = g$ . Desde $g \mid c$ entonces $c = c'g$ para algunos $c' \in \mathbb Z$ . Así que

$$c = c'g= c'(ax'+by') = a(c'x') + b(c'y') = ax + by.$$

Dónde $x = c'x'$ et $y = c'y'$ . Por tanto, la ecuación $ax+by = c$ tiene solución.

Supongamos que la ecuación $ax+by = c$ tiene solución.

Desde $g \mid a$ et $g \mid b$ existe $a',b' \in \mathbb Z$ tal que $a = ga'$ et $b=g'b$ . Así que

$$c = ax + by = (ga')x + (gb')y = g(ax' + by').$$

Por lo tanto $g \mid c$ .