Gram-Schmidt de dimensión infinita

Question

Dado un infinito espacio de producto interno dimensional $(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$ con una base Hamel contable, ¿es siempre posible realizar el proceso Gram--Schmidt y producir una base ortonormal para $(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$ ? (Para ser precisos, por base ortonormal entiendo una base de Hamel $\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ tal que $\langle e_i,e_j \rangle) = \delta_{ij}$ para todos $i,j$ ?

Answer 1

Sí, y esto es bastante sencillo. Sea $(v_n)$ sea una base de Hamel. Habiendo encontrado una base ortonormal $e_1,e_2,...,e_n$ para el tramo de $v_1,v_2,..,v_n$ siempre podemos encontrar coeficientes $c_j$ tal que $e_{n+1}=\sum c_je_j+c_{n+1} v_{n+1}$ tiene norma $1$ y es ortogonal a $e_i: i \leq n$ .