Equivalencia de todas las representaciones de $\exp$

Question

Puedo nombrar al menos 4 formas diferentes de representar $\exp$ función:

1. Serie Taylor: Para $x \in \mathbb{R}, \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ .
2. Ecuación diferencial: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ diferenciable con $f'(x) = f(x)$ et $f(0)=1$ .
3. Función inversa de $\ln(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}$ para $x>0$ .
4. Exponente: El número $e$ (definido, por ejemplo, como $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ ) elevado a la potencia $x$ para $x \in \mathbb{R}$

He conseguido demostrar la equivalencia entre el primer $3$ pero estoy un poco desconcertado por $4.$ .

Una forma fácil sería mirar $a^b = \exp(b \ln(a))$ . Pero no estoy seguro de que eso tenga sentido.

¿Hay alguna otra forma de definir $a^b$ sin implicar a $\exp$ que diera una respuesta más significativa? ¿O cómo demostrarías que 4. es equivalente a 1-3?

Answer 1

Se podría definir $\exp :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sea una función continua que satisfaga $$ \exp\left(\frac{p}{q}\right) = \sqrt[q]{e^{p}} $$ para todos $p$ , $q\in \mathbb{Z}$ entonces demuestre que tal función existe y es única.

Si le interesa, aquí tiene otras dos formas de definirlo $\exp$ :

1. $$ \exp (x) = \lim_{n\to \infty} \left( 1 +\frac{x}{n}\right)^n $$

2.Una función continua $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaga $$ \exp '(0) = 1 $$ $$ \exp(x+y) = \exp(x)\exp{y} $$ para todos $x,y\in \mathbb{R}$ . Por supuesto, tendrás que demostrar la existencia y la unicidad.

Answer 2

El único problema para definir $a^b$ es cuando $b$ es irracional. Esto se puede manejar de la siguiente manera.

Sea $b_n$ sea una secuencia de racionales que tiende a $b$ y podemos definir $a^b=\lim_{n\to\infty} a^{b_n} $ . Este enfoque es ligeramente difícil y se presenta aquí .