$\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2-16}$

Question

No me queda claro por qué el límite como $x$ va a $4$ de $\sqrt{x^2-16}$ es $0$ ya que los límites a ambos lados de $4$ no son iguales. Desde la derecha es cero, pero desde la izquierda ( $x= 3.99999$ ) no está definido.

Answer 1

Podemos afirmar $\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2-16} = 0$ sin ambigüedades. Aplicando la definición del límite a esto, estamos diciendo

$\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0$ tal que $\forall x \in \text{dom}{(f)}$ satisfaciendo $0<|x-4|<\delta$ , $|\sqrt{x^2-16}|<\epsilon$ .

En un barrio suficientemente pequeño de $4$ no existe $x$ que cumpla la condición $x \in \text{dom}{(f)}$ a la izquierda de $4$ . Por tanto, sólo tenemos que considerar el lado derecho. La función es continua por la derecha en $x=4$ por lo que se cumple la condición.

Si no tuviéramos esta definición, se producirían algunas consecuencias no muy agradables; se podría restringir el dominio de modo que funciones que de otro modo serían continuas no lo fueran en sus puntos finales.

Answer 2

Tienes razón en que sólo podemos definir el límite de $\sqrt{x^2-16}$ como $x$ se acerca a $4$ de arriba, precisamente porque la expresión es indefinida para $x \lt 4$ .

La notación correcta para esto en la mayoría de los libros es $\lim_{x\to4^+} \sqrt{x^2-16}=0$ .

En un curso básico de cálculo universitario, el estudiante probablemente verá una definición de límite muy similar a la siguiente, citada de la Univ. de Tenn. Archivos de Matemáticas Cálculo visual por Larry Husch:

Definición. El límite de $f(x)$ como $x$ enfoque $a$ es $L$ $$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$ si y sólo si, dado $\varepsilon \gt 0$ existe $\delta \gt 0$ tal que $0 \lt |x-a| \lt \delta$ implica que $|f(x)-L| \lt \varepsilon$ .

Esto es algo casual en el sentido de que no se exige explícitamente que $f(x)$ se define en cualquier lugar. Mi interpretación sería que $f(x)$ debe definirse al menos en barrio eliminado de $a$ dado por $0 \lt |x-a| \lt \delta$ . A Cálculo I tutorial en línea menciona tal requisito:

Definición 1 Sea $f(x)$ sea una función definida en un intervalo que contenga $x=a$ excepto posiblemente en $x=a$ . T $$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$ si para cada número $\varepsilon \gt 0$ hay un número $\delta \gt 0$ s $$ |f(x)-L| \lt \varepsilon \;\; \text{ whenever } \;\; 0 \lt |x-a| \lt \delta $$

Un texto de pre-cálculo encontrado a través de la vista previa de Google Books, Precalculus with Limits de Ron Larson, página 815, expone la idea de manera menos formal:

Definición de límite Si $f(x)$ se acerca arbitrariamente a un número único $L$ como $x$ se acerca a $c$ desde cualquier lado, entonces el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $c$ es $L$ . Esto se escribe como $$ \lim_{x\to c} f(x) = L. $$

En mi opinión, incluso esta declaración menos formal requiere una aproximación al límite de ambos lados del punto $x=c$ . Por supuesto, siendo el inglés tan ambiguo como es, alguien que quiera resistirse a este requisito podría interpretar que sólo se requiere un lado o el otro, no necesariamente ambos. En la práctica matemática, sin embargo, eso más débil no sirve para el propósito para el que queremos que se introduzcan los límites, a saber, para definir la derivada de una función en un punto tomando el límite del cociente de la diferencia.