¿Qué primos dividen el discriminante de un polinomio?

Question

Dado un polinomio mónico $p(t) = t^n + ... + c_1 t + c_0$ con coeficientes enteros (o racionales) y con raíces $a_1, \dots a_n$ podemos calcular su discriminante, que se define como $\prod_{i< j}(a_i - a_j)^2$ .

En mi caso, tengo un polinomio que es el polinomio característico de alguna matriz invertible $T$ . Es palindrómico, es decir, $c_{n-i} = c_i$ para todos $0 \leq i \leq n$ -- por lo que las raíces vienen en pares inversos $a$ y $\frac{1}{a}$ . No hay raíces repetidas, por lo que el discriminante es distinto de cero.

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de saber qué primos dividen este discriminante, es decir, a partir de los coeficientes del polinomio o de la matriz $T$ ?

Answer 1

No estoy de acuerdo con la definición del discriminante como la resultante de $P$$P'$. Al $P$ es un polinomio con coeficientes enteros, luego de un primer $q$ debe dividir el discriminante de $P$ si y sólo si la reducción de $P$ modulo $q$ tiene raíces múltiples (posiblemente en el infinito, cuando el nivel disminuye en al menos 2 en virtud de la reducción). Pero ahora consideremos $P=2X^2+ 3X+1$. La resultante de $P$$P'$$-2$, y la reducción de la $P$ modulo 2 no tiene raíces múltiples. En este caso, el bien conocido discriminante $b^2-4ac$ es realmente 1. La correcta relación entre el discriminante y la resultante de un polinomio $P(t)=a_nt^n+\cdots+a_1t+a_0$$\mathrm{disc}(P)= (-1)^{n(n-1)/2}\mathrm{res}(P,P')/a_n$.

Answer 2

En primer lugar, cuando se dice "es simétrico", probablemente significa que el polinomio $P(t) = a_n t^n + ... + a_1 t + a_0$ satisface $a_{n-i} = a_i$ todos los $0 \leq i \leq n$, no es que la matriz es simétrica, ya que es la primera condición que implica que el conjunto de las raíces es invariante bajo a tomar recíprocos (y también que $0$ no es una raíz). Un polinomio es más comúnmente llamado palindrómicas.

La conexión con la matriz parece ineficiente, debido a que cada polinomio es el polinomio característico de la matriz, por ejemplo, su compañero de la matriz. (Esto podría ser útil si usted tenía alguna información adicional acerca de la matriz).

Usted pregunta si uno puede decir que los primos de dividir el discriminante de los coeficientes del polinomio. La respuesta es un sí rotundo, aunque quizás no de una manera que va a ser satisfactorio para usted: usted puede calcular el discriminante directamente a partir de los coeficientes del polinomio y, a continuación, usted puede factor! La fórmula que dio en realidad no es muy bueno para la informática , el discriminante: para eso es mejor usar

$\operatorname{disc}(P) = (-1)^{\frac{(n)(n-1)}{2}} \frac{\operatorname{Res}(P,P')}{a_n}$,

donde $P'(t)$ es la derivada de y $\operatorname{Res}$ es la resultante, calculado utilizando su interpretación como el determinante de la Sylvester de la matriz.

[Gracias a Michel Coste por señalar que el discriminante no es exactamente igual a la resultante de $P$ $P'$ al $P$ no es monic.]

Answer 3

Veo que Pete me pegaba a la Resultante de la respuesta, así que me voy a dar un poco diferente de respuesta. Para más información sobre esto, vea la página 21 de Ribbenboim la Clásica Teoría de Números Algebraicos.

Deje $p(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots + a_n$. Nos gustaría encontrar el discriminante $D(p)$ $p(x)$ el uso de los coeficientes (es decir, sin conocer las raíces).

Set $p_k=\alpha_1^k + \cdots + \alpha_n^k$, donde el $\alpha_i$ son las raíces de $p(x)$$k=0,1,2,...$. Ahora para la parte increíble. Nos puede encontrar todos los $p_i$ sin realmente computación en cualquiera de las $\alpha_i$!

Explícitamente, $p_0=n$, $p_1=-a_1$ y $p_i$ $i>1$ puede calcularse recursivamente usando el método de Newton Fórmulas.

Entonces

$D(p)=\displaystyle\det\begin{bmatrix} p_0 & p_1 & \cdots & p_{n-1} \newline p_1 & p_2 & \cdots & p_n \newline \vdots &\vdots & &\vdots\newline p_{n-1}&p_n &\cdots &p_{2n-2} \end{bmatrix}$

Answer 4

(No he averiguado cómo dejar comentarios aquí en lugar de respuestas, ¡ayuda!)

La matriz tiene coeficientes racionales pero no suele ser simétrica. Efectivamente, sólo el polinomio es simétrico en sus coeficientes, como tú dices.

No todo polinomio entero/racional es el polinomio característico de una matriz racional (véase aquí ), así que espero que esta información extra pueda ser de ayuda.

Comprendo que puedo simplemente calcular el discriminante en casos particulares y ver qué pasa, pero esperaba que hubiera un teorema general que dijera algo sobre los divisores primos. Hasta ahora no consigo averiguar nada, ni siquiera utilizando la resultante.