Cálculo de la normalización de la cúspide proyectiva $V(x^2z-y^3)$

Question

He entendido la normalización de la cúspide afín $V(x^2-y^3)\subset\mathbb{A}^2$ es sólo $\phi:\mathbb{A}^1\to \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^3))$ procedente del mapa algebraico $$ \phi^*:\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^3) \to \mathbb{C}[t] \\ x \mapsto t^3 \\ y\mapsto t^2 $$

¿Cómo se extiende esto a la curva proyectiva $V=V(x^2z-y^3)$ ? ¿Obtenemos un mapa similar $\phi:\mathbb{P}^1\to\operatorname{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2z-y^3))$ a partir del mapa $$ \phi^*:\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2z-y^3) \to \mathbb{C}[t] \\ x \mapsto t^3 \\ y\mapsto t^2 \\ z \mapsto 1 $$ simplemente ampliando el mapa del álgebra afín? ¿Qué ocurre con el punto $(1:0:0)$ con $z=0$ ?

Answer 1

Desde $\DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \mathbb{P}^1 = \Proj(\C[t_0, t_1])$ entonces $\C[t_0, t_1]$ es el anillo de coordenadas homogéneo de $\mathbb{P}^1$ por lo que el homomorfismo deseado de anillos graduados es \begin{align*} \phi^*:\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2z-y^3) &\to \mathbb{C}[t_0, t_1] \\ x &\mapsto t_0^3 \\ y &\mapsto t_0^2 t_1 \\ z &\mapsto t_1^3 \, . \end{align*} De ello se desprende que el punto $(t_0 : t_1) = (1:0)$ mapas al punto $(x:y:z) = (1:0:0)$ .

Ahora $\newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \P^1$ está cubierto por dos copias de $\A^1$ que corresponden homeomórficamente a los subconjuntos de $\P^1$ donde $t_0 \neq 0$ y $t_1 \neq 0$ respectivamente. Estos dos mapas $\psi_0, \psi_1: \mathbb{A}^1 \hookrightarrow \P^1$ corresponden a los homomorfismos de anillo \begin{align*} \psi_0^*: \mathbb{C}[t_0, t_1] &\to \mathbb{C}[t]\\ t_0 &\mapsto 1\\ t_1 &\mapsto t \end{align*} y \begin{align*} \psi_1^* : \mathbb{C}[t_0, t_1] &\to \mathbb{C}[t]\\ t_0 &\mapsto t\\ t_1 &\mapsto 1 \, . \end{align*} El mapa que has escrito en la pregunta es la composición $\psi_1^* \circ \phi^* = (\phi \circ \psi_1)^*$ correspondiente al mapa \begin{align*} \mathbb{A}^1 &\overset{\psi_1}{\hookrightarrow} \P^1 \overset{\phi}{\to} \mathbb{V}(x^2 z - y^3)\\ t &\mapsto [t : 1] \mapsto [t^3 : t^2 : 1] \, . \end{align*} Usted señaló que el punto $(1:0:0)$ no se encuentra en la imagen de este mapa, lo que se debe a que el punto $(1:0)$ que se asigna a ella en $\phi$ no está contenida en la imagen de $\psi_1$ sino a imagen y semejanza de $\psi_0$ .

Como nota, no todo mapa de anillos graduados induce un mapa de $\Proj$ s. En general, dado un mapa $\varphi: S_\bullet \to R_\bullet$ de anillos graduados, existe un morfismo inducido de esquemas $$ \varphi^*: \Proj(R_\bullet) \setminus \mathbb{V}(\varphi(S_+)) \to \Proj(S_\bullet) $$ donde $S_+$ es el ideal irrelevante. (Véase $\S6.4$ de Vakil El mar en alza o Etiqueta 01MX del proyecto Stacks). Básicamente, el problema es que, si $\varphi$ tiene un núcleo no trivial, los elementos de este núcleo se asignarán a " $(0: 0 : \cdots : 0)$ "que no es un punto del espacio proyectivo. Afortunadamente en el ejemplo anterior, \begin{align*} \mathbb{V}(\phi^*(S_+)) &= \mathbb{V}(\phi^*(x,y,z)) = \mathbb{V}(t_0^3, t_0^2 t_1, t_1^3) = \varnothing \end{align*} por lo que obtenemos un mapa definido sobre todo $\P^1$ .