Expresión del producto fibra de afines mediante un ideal

Question

Sea $X$ (resp. $Y$ ) es la afinidad $k$ -definido por el ideal $I$ (resp. $J$ ) en el anillo polinómico $k[x_1,...x_n]$ (resp. $k[y_1,...,y_m]$ ). Sea $Z$ sea el esquema afín definido por el ideal $L$ en $k[z_1,...z_s]$ y que $f^\*:k[z]/L\rightarrow k[x]/I$ (resp. $g^\*:k[z]/L\rightarrow k[y]/J$ ) sea $k$ -donde $x=(x_1,...,x_n)$ y así sucesivamente, correspondientes a morfismos de esquema $f:X\rightarrow Z$ (resp. $Y\rightarrow Z$ ).

Entonces debería ser posible expresar el producto fibra $X\times_{f,Z,g}Y$ a través de un ideal $W$ en el anillo polinómico $k[x,y,z]$ [editar: en realidad, $W$ debe ser un ideal en $k[x,y]$ ] (donde $x$ representa la cadena de variables $x_1,...,x_n$ etc.).

Pregunta: ¿cómo expresar $W\subseteq k[x,y,z]$ explícitamente en términos de $I$ , $J$ , $L$ , $f^\*$ y $g^\*$ ?

Edita: Puedes expresar las cosas explícitamente en términos de algunos polinomios $F_i$ , $G_i$ y $H_i$ tal que $I=(F_1,...,F_N)$ , $J=(G_1,...,G_M)$ y $L=(H_1,...,H_S)$ y en cuanto a los componentes $(f_1,...,f_s)$ (resp. $(g_1,...,g_s)$ ) de $f$ (resp. $g$ ).

Answer 1

Estimado desconocido, permítame en primer lugar felicitarle por la claridad de su pregunta y la calidad de su notación, que voy a utilizar a continuación.

El producto de fibra $X\times_Z Y$ es el subesquema de $\mathbb A_k^n \times \mathbb A_k^m$ descrito por un ideal $\mathfrak A \subset k[x,y]$ . Ese ideal es $\mathfrak A=I^e + J^e + D$ donde

$I^e$ es la extensión de $I\subset k[x]$ à $I^e\subset k[x,y]$ ,

$J^e$ es la extensión de $J\subset k[y]$ à $J^e\subset k[x,y]$ ,

$D$ es el ideal generado por el $s$ diferencias $f_i(x)-g_i(y),\quad (i=1,\ldots,s)$

Me parece más claro no utilizar generadores para $I$ y $J$ y, extrañamente, $L$ no se utiliza en absoluto: esto se debe a que el producto de fibra es el mismo si se considera sobre $Z$ o por encima de $\mathbb A_k^s$ ¡!