De un rectángulo se cortan cuatro cuadrados, todos de áreas diferentes, dejando un rectángulo más pequeño...

Question

De un rectángulo se cortan cuatro cuadrados, todos de áreas diferentes, dejando un rectángulo más pequeño de dimensiones $1\times2$ . Si el cuadrado mayor tiene un área de 64, y los otros tres cuadrados tienen longitudes laterales que son números enteros no mayores que 7, ¿cuáles son sus áreas?

Inténtelo

Las zonas posibles son 1,4,9,16,25,36 y 49.

Encontrado este 2,3,5,8 como la respuesta (@pic). Pero quiero saber si existen otras soluciones o no. Si no, ¿cuál es la razón?

Answer 1

A menos que un lado del rectángulo grande sea $8$ El $8\times 8$ debe tocar piezas más pequeñas en dos aristas, lo que ya da cuenta de todas las piezas. Por tanto, una de las aristas debe tocar dos cuadrados más pequeños, lo que deja un hueco en el cuadrado más pequeño que no se puede rellenar. Concluimos que un lado del rectángulo es $8$ . Después de retirar el $8\times 8$ nos quedan tres cuadrados más pequeños de longitudes laterales $a<b<c<8$ y el $2\times 1$ formando un rectángulo. De nuevo, si el gran $c\times c$ cuadrado tiene vecinos en dos aristas, nos encontramos con problemas. Llegamos a la conclusión de que una arista del rectángulo es $c$ . Por lo tanto, tenemos $$2+a^2+b^2+c^2=8c. $$ Numéricamente, podríamos tener $c=7$ entonces $a^2+b^2=5$ es decir, $a=1$ , $b=2$ . O $c=6$ entonces $a^2+b^2=10$ Así que $a=1$ , $b=3$ . O $c=5$ entonces $a^2+b^2=13$ Así que $a=2$ , $b=3$ . $c=4$ no es posible, como tampoco lo es $c\le 3$ . Se ve fácilmente que es imposible llenar un $1\times 7$ cuando una parte os $2\times 2$ o rellenar un $2\times 6$ cuando una parte es $3\times 3$ . El caso restante $c=5$ conduce a la solución conocida.