contraejemplos de $\det \Big(A^2+B^2\Big)\ge \det(AB-BA)$

Question

$n\geq3$ . A y B son dos $n\times n$ matrices reales. Para $n\times n$ ¿Podría alguien dar contraejemplos para demostrar que

$$\det \Big(A^2+B^2\Big)\ge \det(AB-BA) \tag{$ * $}$$

no es necesariamente cierto?

Bueno, no haré más que $3\times3$ lo siguiente $A,B$ mostrar (*) no es correcto

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)$$

¿Cuál es el contraejemplo de $n\times n$ ? Muchas gracias.

Answer 1

Sea $$\begin{equation}A=\begin{bmatrix}I_{n-2} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & 0 & -1 \\ \mathbf{0} & 1 & 0\end{bmatrix},\end{equation}$$ entonces $$\begin{equation}A^2=\begin{bmatrix} I_{n-2} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\mathbf{0}&-1 & 0 \\ \mathbf{0}& 0 & -1\end{bmatrix}.\end{equation}$$ Ahora haz $B$ una matriz llena de ceros, excepto la última entrada diagonal, haga esta entrada $\sqrt{2}$ . Entonces $B^2$ tiene todos ceros excepto la última entrada de la diagonal que es $2$ por lo que tenemos $$\begin{equation}A^2+B^2=\begin{bmatrix} I_{n-2} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\mathbf{0}&-1 & 0 \\ \mathbf{0}& 0 & 1\end{bmatrix}.\end{equation}$$ También tenemos $$\begin{equation}AB-BA=\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\mathbf{0}&0 & -\sqrt{2} \\ \mathbf{0}& -\sqrt{2} & 0\end{bmatrix},\end{equation}$$ y entonces det $(A^2+B^2)=-1$ y det $(AB-BA)=0$ para todos $n \geq 3$ .