Tomemos cualquier teoría de campo conforme de 1+1 dimensiones en el plano. El hamiltoniano es invariante bajo el álgebra de Virasoro de dimensión infinita (con alguna carga central $c$ ), generado por $L_i$ ( $i\in \mathbb Z$ ). Sin embargo, lo mejor que se puede hacer es encontrar un estado básico $|0\rangle$ que es simétrica respecto a $L_{i\geq -1}$ (esto también se observa en el Wikipedia página). En otras palabras, el estado fundamental tiene mucha menos simetría que el Hamiltoniano. Esto suena a ruptura de simetría espontánea. De hecho, en la nota 3 de la página 3 Maldacena y Stanford digamos:
En la CFT 1+1 dimensional la simetría conforme también se rompe espontáneamente (recordemos que $L_{-2} |0\rangle \neq |0\rangle$ ), pero no se rompe explícitamente.
¿Realmente podemos pensar que se trata de una ruptura espontánea de la simetría? Si es así: ¿dónde está la degeneración infinita del estado básico, dónde están los modos de Goldstone, y qué pasa con Mermin-Wagner-Coleman que incluso prohíbe la ruptura de una simetría continua? (¿Y qué hay del ligeramente oscuro 'teorema'/argumento de Elitzur que prohíbe la ruptura espontánea de simetrías locales)?
Puedo imaginar que algunas o todas estas preocupaciones se aliviarían utilizando de alguna manera el hecho peculiar de que los generadores locales $L_{i<-1}$ no pueden extenderse a globales, es decir, la forma de actuar del álgebra de Virasoro en este contexto no puede interpretarse como el álgebra de Lie de un grupo de Lie [EDIT: esto parece ser un error común, véase el publicado por Bruce Bartlett ] . Por lo tanto, aunque el estado básico rompe estas simetrías locales, no se rompe la simetría global correspondiente (lo que probablemente significa que no se aplica el teorema de Goldstone). . Sin embargo, me cuesta un poco hacerme a la idea: ¿qué se está rompiendo realmente y cuáles son sus consecuencias? (¿y cómo se resuelven los problemas mencionados?)
Nota 1: Esto no debe confundirse con la anomalía conforme, que simplemente tiene que ver con el hecho de que tenemos que sustituir el álgebra de de Witt por el álgebra de Virasoro.
Nota 2: Una cuestión relacionada es la siguiente: la simetría conforme (en esta dimensión) es una simetría local. Estamos acostumbrados a equiparar las simetrías locales a las simetrías gauge, sin embargo al mismo tiempo no creo que queramos llamar a la simetría conforme una simetría gauge. No obstante, es una cuestión interesante, ya que, por supuesto, una simetría gauge nunca puede romperse (pero esto quizá sea otra caja de Pandora).
