¿Qué falla si intentamos definir la integral de Riemann en términos de diferenciación?

Question

Supongamos que intentamos definir el significado de la integral de Riemann $$\int_a^b f(x)\,dx$$ como sigue; la integral anterior existe si existe una función diferenciable $F$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $F' = f$ en cuyo caso definimos $$\int^b_a f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

¿Qué falla?

Answer 1

Nada va mal, excepto por el hecho de que la clase de funciones a las que puede dar una integral no es lo suficientemente buena ni siquiera para un propósito elemental. ¿Qué harías con $\int_3^5 \lfloor x\rfloor dx$ por ejemplo

Y otro problema : ¿cómo saber, para una función dada $f:[a,b]\mapsto \mathbb R$ que es la derivada de una función $F$ ?

Answer 2

Ampliando el comentario de Omnomnomnom, esta definición de integral elimina gran parte de la intuición geométrica. Por ejemplo, con la integración de Riemann, sabemos que estamos calculando el área bajo una curva. Esto no sólo es bueno desde el punto de vista pedagógico, sino también para los métodos numéricos: Puedo aproximar una integral arbitrariamente bien utilizando sumas superiores e inferiores de Riemann con bastante facilidad, aunque sea imposible obtener una respuesta exacta.

Answer 3

Si he entendido bien la pregunta, entonces la respuesta es la continuidad como he escrito en los comentarios. Lo anterior es definitivamente cierto cuando la función $f$ es continua en todas partes en el intervalo $[a,b]$ que quieres integrar. Si intentas demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo verás que la continuidad de $f$ es crucial para demostrar tu afirmación, ya que como sabrás una función puede tener un punto de discontinuidad finito y seguir siendo integrable sobre un subconjunto conexo acotado de $\mathbb{R}$ . Creo que el artículo de Wiki contiene suficiente información para resolverlo por tu cuenta. https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus .

Answer 4

En Integral de Riemann $$\int_B f(x)\>{\rm d}x\ ,$$ es decir, el límite de las sumas de Riemann $$\sum_{k=1}^N f(\xi_k)\>{\rm vol}(B_k)\ ,$$ de una función $f:\>B\to{\mathbb R}^m$ sobre un dominio $B\subset{\mathbb R}^n$ es un concepto geométrico y físico fundamental por derecho propio.

Sólo en el caso $m=n=1$ (o.k.: $n=1$ ) que el FTC permite conectar el límite de las sumas de Riemann con las llamadas primitivas de $f$ .