Prueba directa de $A \subseteq \overline{A}$

Question

He probado $A \subseteq \overline{A}$ mostrando $\overline{A}^c \subseteq A^c$ : Sea $x \in \overline{A}^c $ puis $x$ no es un punto de acumulación de $A$ por lo tanto existe una nbhood abierta $N$ de $x$ con $N \cap A = \varnothing$ o equivalentemente: $N \subseteq A^c$ .

Esto es bastante corto. Intenté hacerlo directamente pero fallé. ¿Es posible mostrar $A \subseteq \overline{A}$ (Supongamos que $x \in A$ y $N$ una nbhood abierta de $x$ . Entonces $N$ debe contener un punto de $A$ )

La definición de cierre es el conjunto y todos sus puntos de acumulación.

Answer 1

Si ha definido $\overline A$ el conjunto $A$ junto con todos sus puntos de acumulación, entonces por definición , $A$ es un subconjunto de $\overline A.$

Si por el contrario lo has definido como el conjunto de todos los $x$ en el espacio suprayacente tal que cada vecindad de $x$ se cruza con $A,$ entonces observe que para cualquier $x\in A$ y cualquier barrio $N$ de $x$ tenemos $x\in N,$ así que $A\cap N\neq\emptyset,$ y así $x\in \overline A.$

Es un buen ejercicio demostrar que estas dos definiciones son equivalentes. ( Sugerencia : $x$ es un punto de acumulación de $A$ si y sólo si cada vecindad de $x$ se cruza con $A$ en algún momento diferente de $x$ .)

Answer 2

Depende de la definición específica que se tome para $\overline A$ . Por ejemplo, la definición que yo adoptaría es la siguiente $\overline A$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $A$ . Entonces, como cada uno de los conjuntos que intersecan contiene $A$ podemos concluir que su intersección $\overline A$ también contiene $A$ .

Answer 3

Sea $A'$ denotan el conjunto de puntos de acumulación de $A$ . Entonces ha definido $$\bar A=A\cup A'$$

Es decir $\bar A\supseteq A$ de una vez.