Principio de inducción: $n^2-7n+12≥0$ para cada $n≥3$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $n^2-7n+120$ para cada $n3$ ?

Sé que para $n=3$ Tengo $00$ por lo que la Hipótesis inductiva es cierta.

Ahora para $n+1$ Tengo $(n+1)^2-7(n+1)+12=n^2-5n+6$ y ahora no sé cómo seguir...

Answer 1

Sea $f(n)=n^2-7n+12.$ Tenemos $f(n+1)-f(n)=2n-6.$ Por cada $n\geq 3$ tenemos $$f(n)\geq 0\implies$$ $$\implies [\; f(n+1)-f(n)=2n-6\geq 0\;\land f(n)\geq 0\;]\implies$$ $$\implies f(n+1)\geq f(n)\geq 0\implies$$ $$\implies f(n+1)\geq 0.$$ Así que por inducción tenemos $f(3)\geq 0\implies \forall n\geq 3\;(f(n)\geq 0).$

Y tenemos $f(3)\geq 0$ porque $f(3)=0.$

Answer 2

Utiliza completar el cuadrado:

$$n^2-7n+12=\bigg(n-\frac{7}{2}\bigg)^2-\bigg(\frac{7}{2}\bigg)^2+12$$

$$\to\bigg(n-\frac{7}{2}\bigg)^2-\frac{49}{4}+\frac{48}{4}=\bigg(n-\frac{7}{2}\bigg)^2-\frac{1}{4}$$

Tenga en cuenta que $k^2 \ge 0$ $\forall k \in \Bbb R$ y para $n\ge 3, \bigg(n-\frac{7}{2}\bigg)^2\ge\frac{1}{4}$ Por lo tanto $\bigg(n-\frac{7}{2}\bigg)^2-\frac{1}{4}\ge 0$