Principio de inducción: $n^2-7n+12≥0$ para cada $n≥3$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $n^2-7n+120$ para cada $n3$ ?

Sé que para $n=3$ Tengo $00$ por lo que la Hipótesis inductiva es cierta.

Ahora para $n+1$ Tengo $(n+1)^2-7(n+1)+12=n^2-5n+6$ y ahora no sé cómo seguir...

Answer 1

CONSEJO

$(n+1)^2-7(n+1)+12=n^2-5n+6= (n^2 -7n+12)+(2n-6)$

Answer 2

Una prueba fácil es utilizar $$n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$$ y observe que el producto de factores positivos es positivo, y si uno de los factores es cero también lo es el producto.

Ni inducción, ni cálculo, ni fracciones.

Answer 3

Como otros han señalado, esta es realmente una desigualdad tonta para demostrar utilizando la inducción. De todos modos, el siguiente esquema de la parte central de la prueba inductiva puede ayudar:

\begin{align*} (k+1)^2-7(k+1)+12 &= k^2+2k+1-7k-7+12 & \text{(expand)}\\[1em] &=(k^2-7k+12)+2k-6 & \text{(rewrite to use IH)}\\[1em] &\geq0+2k-6 & \text{(by Inductive Hypothesis)}\\[1em] &\geq0+0 & \text{(since $k\geq3$)}\\[1em] &=0. \end{align*}

Answer 4

Tenga en cuenta que

$$n^2-5n+6=n^2-7n+12+2n-6 \stackrel{\color{red}{n^2-7n+12\ge 0}}\ge 0 + 2n-6\ge 0$$

para $n\ge3$ .

Answer 5

Sea $f(n)=n^2-7n+12$

Sustituir $n=3$ y $n=4$ para obtener $f(n)=0$ lo que demuestra que el caso base es cierto para cualquier inducción.

Un método de las matemáticas estándar de bachillerato es utilizar el cálculo:

Desde $\frac{df}{dn}=2n-7$ el gradiente es positivo para $n>3.5$ por lo que tiene $f(n+1)>f(n)$ para todos $n>3.5$ que te da tu relación sucesora para demostrar el teorema por inducción.

Este método hace algunas suposiciones sobre la función que son realistas en este caso pero que causarían problemas si, por ejemplo, la función no fuera continuamente diferenciable.

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Una relación sucesoria quizá más elegante se obtiene por métodos discretos:

$\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)=2n-6$

Esto dice que el cambio en $f$ de $n$ a $n+1$ es $2n-6$

Así que $\Delta f(n)\geq0$ para $n\geq3$ y de nuevo por inducción tienes tu resultado.