cociente geométrico

Question

Sea $S$ sea un esquema base. Sea $X$ sea un esquema sobre $S$ y que $G$ sea un esquema de grupo sobre $S$ actuando sobre $X$ vía $\sigma: G \times_S X \to X$ . Supongamos que tenemos un esquema $Y$ en $S$ junto con $\varphi: X \to Y$ tal que $\varphi \circ \sigma = \varphi \circ p_2$ (donde $p_2: G \times_S X \to X$ ), $\varphi$ es suryectiva y la imagen de $(\sigma,1):G \times_S X \to X \times_S X$ es igual a $X \times_Y X$ .

¿Por qué esta condición equivale a decir que "las fibras geométricas de $\varphi$ son precisamente las órbitas de los puntos geométricos de $X$ para puntos geométricos sobre un campo algebraicamente cerrado de grado de trascendencia suficientemente alto"?

(Fuente: GIT de Mumford...)

Answer 1

Por lo que recuerdo del libro de Mumford hay dos condiciones más para un "cociente geométrico", a saber, que $\varphi$ es sumergible y que ${\mathcal O}_Y \to \varphi_*({\mathcal O}_X)^G$ es un isomorfismo. Además, la condición sobre las fibras geométricas sólo es equivalente a

(*) la subjetividad de $\varphi$ y la imagen de $(\sigma,1)$ es $X \times_Y X$ ,

suponiendo que $\varphi \circ \sigma = \varphi \circ p_2$ (esta condición garantiza que $(\sigma,1)$ factores a través de $X \times_Y X$ ).

Para ver esta equivalencia basta con combinar las dos observaciones siguientes (la primera es puramente formal, la segunda no es difícil de demostrar - y se puede encontrar en EGA1).

1. Sea $T$ ser cualquier $S$ -esquema y deja $\varphi_T\colon X(T) \to Y(T)$ el mapa inducido por $\varphi$ en $T$ -y lo mismo para otros morfismos. Entonces el mapa (de conjuntos) $\varphi_T$ es suryectivo y el mapa $(\sigma,1)_T$ tiene imagen $(X \times_Y X)(T)$ si y sólo si las fibras de $\varphi_T$ (de nuevo como un mapa de conjuntos) son precisamente las $G(T)$ -orbits on $X(T)$ sous $\sigma_T$ .

2. Un morfismo de esquemas $f\colon X \to Y$ es suryectiva si y sólo si para cada campo $K$ y para cada $K$ -punto valorado $y \in Y(K)$ existe una extensión de campo $L$ de $K$ y $x \in X(L)$ tal que $f_L(x) = y_L$ donde $y_L$ es la imagen de $y$ sous $Y(K) \to Y(L)$ .