Ecuación del coseno complejo con exponente

Question

Tengo la tarea de resolver la ecuación $$\cos(\pi e^z)=0$$ .

Lo que he hecho hasta ahora es utilizar $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ , sustituto $w=e^{i \pi e^z}$ , obtenga $w=0$ y $w=-1$ y utilizando $$w=e^{iz}=e^{-y+ix}=e^{-y}(\cos(x)+i \sin(x))$$

Lo entiendo. $|w|=|e^{-y}|=1$ así que $(cos(x)+i\sin(x))=-1$ o $x=\pi+n2\pi$ .

Soy nuevo en números complejos, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Las soluciones vienen dadas por $$\pi e^z= \tfrac{\pi}{2} + \pi k$$ para integral $k$ . Así que $$e^z=\tfrac12 + k=\tfrac{2k+1}{2}$$ Para $k\geq 0$ se obtienen las soluciones $$z = \ln\tfrac{2k+1}{2} + 2n\pi i$$ para integral $n$ y para $k<0$ esto da las soluciones $$z = \ln -\tfrac{2k+1}{2} + (2n+1)\pi i$$ para integral $n$ . (Aquí, " $\ln$ " es la conocida función de valor real de una variable positiva).

Answer 2

Sea $\pi e^z=u$ . Tenemos: $$ \cos u=\frac{e^{iu}+e^{-iu}}{2}=0 \quad \rightarrow $$ $$ \left(e^{iu} \right)^2+1=0 \quad \rightarrow \quad e^{iu}=\pm i \quad \rightarrow \quad u=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi $$ esto da

$$ e^z=\pm \frac{1}{2}+2k $$

y puedes encontrar $z$ utilizando el valor principal del logaritmo.

Answer 3

Primero demostremos que $cos(z)=0 => im(z)=0$ . Para ello, basta con utilizar esta fórmula: $$ cos(x+iy)=cosxcoshy−isinxsinhy $$ Ahora sabemos que las raíces de $cos(z)$ son $2k\pi+\pi/2$ . Por lo tanto, sólo tenemos que resolver la siguiente ecuación: $$ \pi e^z=2k\pi+\pi/2 $$ De dónde lo sacamos $$ e^z=2k+1/2 $$ y luego $$ z=ln(2k+1/2)+2mi\pi, $$ donde $k, m \in \mathbb{Z}$ .