Mapas lineales de $V$ a $V^*$ definida por una 2-forma

Question

Me encontré con esta idea al principio de un libro y no acabo de entenderla. Dice así $\omega \in \bigwedge ^2 (V) $ puede definir un mapa lineal $ \omega^\#: V \to V^* $ por $\omega(v, \cdot)$ .

Mi primera pregunta es sólo una verificación. Por ejemplo, si $\dim(V) = 2$ entonces $\omega = a e^1 \wedge e^2$ . Si tomamos un vector $v = v_1 e_1 + v_2 e_2$ sería $\omega (v, \cdot) = v_1 e^2 - v_2 e^1 $ ?

Aunque esto parece muy bien, continúa y afirma que desea demostrar que $\omega = dx \wedge dy$ es no degenerado. Esto lo hace diciendo a los considerados $$\omega ^\# \left ( \frac{\partial }{\partial x} \right ) = \iota \left ( \frac{\partial }{\partial x} \right ) (dx \wedge dy) = dy $$

En primer lugar, no estoy seguro de dónde procede la iota o si se trata de un error tipográfico.

Suponiendo que $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e_1$ entonces de mi primera pregunta, se deduce que $\left ( \frac{\partial }{\partial x} \right ) (dx \wedge dy) = \iota \frac{\partial }{\partial x}dy$ . ¿Por qué esto es simplemente $dy$ ¿o simplemente mi planteamiento es erróneo?

Gracias de nuevo por la ayuda.

Answer 1

El símbolo $\iota $ es una notación común para la inserción de un campo vectorial. Asigna $k$ -forma a $k-1$ -formas que tienen el comer el vector, es decir \begin{equation} \iota_v(\omega)(u_1, \ldots, u_{k-1})=\omega(v,u_1,\ldots,u_{k-1}) \end{equation} Existen diferentes convenciones y a veces el vector se introduce en el último argumento. Así que en tu caso \begin{equation} \iota_{\partial/\partial x}\ \omega=\omega(\partial/\partial x, \cdot)=(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)(\partial/\partial x,\cdot)=\mathrm{d}y \end{equation}