Supongamos que E es un subconjunto infinito de un espacio métrico X.

Question

Demostrar que x es un punto límite de $E$ si y sólo si existe una secuencia $\left \{ x_n \right \}^\infty_{n=1} \subset E $ que converge a x.

Esto formaba parte de nuestro final de prácticas y no tengo ni idea de cómo solucionarlo. Siento que tenemos que usar cubiertas y subcubiertas, pero ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

Una afirmación correcta es que $x$ es un punto límite de $E$ si existe una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ en $E\setminus\{x\}$ que converge a $x$ . No debería costarte mucho demostrar que si existe tal secuencia, entonces $x$ es un punto límite de $E$ ; basta con utilizar las definiciones de punto límite y límite de una secuencia .

La dirección un poco más difícil es demostrar que si $x$ es un punto límite de $E$ entonces existe tal secuencia. Sea $n\in\Bbb N$ ya que $x$ es un punto límite de $E$ hay un punto $x_n\in B(x,2^{-n})\cap(E\setminus\{x\})$ es decir, un punto de $E$ tal que $0<d(x_n,x)<2^{-n}$ . Ahora sólo mostrar que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a $x$ .

Tenga en cuenta que en lugar de $2^{-n}$ Podría haber utilizado cualquier secuencia de números reales positivos convergentes a $0$ . Es decir, si $\langle r_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia de números reales positivos, entonces para cada $n\in\Bbb N$ debe haber un punto $x_n\in B(x,r_n)\cap(E\setminus\{x\})$ y es fácil demostrar que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a $x$ simplemente utilizando el hecho de que para cualquier $\epsilon>0$ hay un $n\in\Bbb N$ tal que $r_n<\epsilon$ .