Son raros los números más raro que los números primos?

Question

Al echar un vistazo a los primeros números raro: $$(70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430)$$ Lo cierto es que los números primos se produce más a menudo dentro de este rango de números.

Pero son raros los números más raro que los números primos en el largo plazo? Seguro que, por la definición de infinito, hay infinitos números primos y el infinito extraño números. Pero si se calcula los números primos y extraños números para una cantidad finita de tiempo, números primos ser más común de lo que extraño de los números?

Esto puede no ser muy fácil de explicar, pero te agradecería un intento de mantenerlo lo más simple posible.

Answer 1

Wikipedia cites Benkoski, Stan; Erdős, Pablo (abril de 1974). "En la Extraño y Pseudoperfect Números" por el hecho de que el extraño números positivos asintótica de la densidad. Pero los números primos tienen cero asintótica de la densidad, por lo que en un sentido, en un largo plazo extraño números, no sólo son más abundantes, pero infinitamente más abundante. Más cuantitativamente, si dejamos a $w(n)$ ser el raro-número-función de cuenta, se debe tener $w(n)\sim \alpha$ n para algún parámetro $0<\alfa<1$, mientras que el primer número teorema nos dice que $\pi(n)\sim\frac{n}{\log n}$.

Answer 2

Quería dejar esto como un comentario, pero esto es probablemente más fácil. Como usted probablemente sabe, el OEIS usualmente tiene un abudance de información para este tipo de cosas , https://oeis.org/A006037 sólo por la inspección se puede ver que el extraño números se ven más densa a medida que crecen en tamaño. Lejos de ser una prueba, pero útil para obtener una idea de su denisty.