Tengo una duda con una prueba respecto a la siguiente implicación.
Considere $F=(f_1,..,f_m): A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow > \mathbb{R}^m$ y $\bar{x}$ un punto límite para $A$ , $$\mathrm{lim}_{x \rightarrow \bar{x}} f_i(x)=l_i \, \, \, \, \, \, \, \, \forall i=1,...,m\implies \mathrm{lim}_{x \rightarrow \bar{x}} F(x)=l=(l_1,...,l_m)$$
Lo que sé es que, para el componente único $i$ ,
$$\forall \epsilon>0 \,\, \, \exists \delta_i>0 \,\,\,\,\, | \,\,\,\,\,\,\, x\in A \,\,\,\,\,\,\,\ 0<||x-\bar{x}||<\delta_i \implies |f_i(x)-l_i|<\epsilon \tag{A}$$
Así que aquí $\delta$ depende de $\epsilon$ elegido, sino también en $_i$ Por lo tanto, es un $\delta_i$ .
Definición de $\bar{\delta}= min \{d_i \}$ tenemos
$$ x\in A \,\,\,\,\,\,\,\ 0<||x-\bar{x}||<\bar{\delta} \implies |f_i(x)-l_i|<\epsilon \,\,\,\,\,\, \forall i=1,...,m \tag{B}$$
Y también
$$x\in A \,\,\,\,\,\,\,\ 0<||x-\bar{x}||<\bar{\delta} \implies$$
$$||F(x)-l||^2=(f_1(x)-l_1)^2+...+(f_m(x)-l_m)^2<\epsilon^2+...+\epsilon^2=m \epsilon^2 \tag{C}$$
Lo que significa $||F(x)-l||<\sqrt{m} \, \epsilon$ . Y eso prueba la afirmación ya que $\epsilon$ es arbitraria.
Estoy confundido acerca de todos estos $\epsilon$ y $\delta$ .
En primer lugar en $(A)$ Acabo de escribir la definición de límite, que dice " $\forall \epsilon$ ", por lo que no estoy considerando un particular y fijo $\epsilon$ sino a todos ellos.
Pero en los siguientes enunciados parece que sí elijo una de las posibles $\epsilon$ . Así es como interpreté el razonamiento del punto $(B)$ .
- Entre todos los $\epsilon$ sólo se elige uno, y se utiliza el mismo para todos los $i$ componentes
- Cada uno de los componentes tendrá un $\delta_i$ correspondiente a ese $\epsilon$ elegido ( $\delta$ es siempre función de $i$ ).
- Entre todos los $\delta_i$ i elegir el mínimo y, por lo tanto, puedo escribir $(B)$ donde $\epsilon$ sigue siendo el mismo para todos los $i$ componentes.
Mientras esta interpetación sea correcta, no daría ningún problema hasta ahora. Pero en $(C)$ lo que se demuestra es que $$||F(x)-l||<\sqrt{m} \, \epsilon$$
Dónde $\epsilon$ sigue siendo el elegido $\epsilon$ en el punto 1 anterior.
Así que, según yo, sí importa que me den un $\sqrt{m} \epsilon$ en su lugar $\epsilon$ ya que $\sqrt{m} \epsilon >\epsilon$ y esto no es exactamente coherente con la definición de límite.
De hecho en principio elegí (entre todas las posibles) esa en concreto $\epsilon$ pero luego me sale $||F(x)-l||<\sqrt{m} \, \epsilon$ .
¿Es errónea mi interpretación? Supongo que sí, ya que al final de la prueba se dice que $\epsilon$ es arbitraria.
Pero no puedo entender realmente cómo es arbitrario. Quiero decir que si vuelvo atrás y elijo $\epsilon'=\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}$ (donde $\epsilon$ es la elegida en primer lugar), entonces sí obtengo $||F(x)-l||< \epsilon$ pero esto sigue sin demostrar el límite, ya que $\epsilon > \epsilon'$ por lo que el problema es el mismo que antes.
Probablemente me estoy perdiendo algo en el razonamiento y no veo dónde. Alguien podría aclarar cuál es el razonamiento de esta prueba (como cuáles son los pasos seguidos en términos de razonamiento)?
En particular, ¿es $\epsilon$ ¿realmente elegido? ¿Y cómo decir que $||F(x)-l||<\sqrt{m} \, \epsilon$ demuestra la afirmación (el problema está en que $\sqrt{m}$ )?
(No estoy buscando una prueba alternativa, si la hay, pero necesito entender esta, tal y como es y también sé que la implicación inversa en el enunciado se sostiene pero sí entendí la prueba para esa implicación revere)
