¿Por qué la fuerza es un vector?

Question

"Hemos centrado nuestro debate en el movimiento unidimensional. Es natural suponer que para el movimiento tridimensional, la fuerza, como la aceleración, se comporta como un vector. "- (Introducción a la Mecánica) Kleppner y Kolenkow

Pero si yo fuera físico y definiera la segunda ley de Newton (experimentalmente) y analizara el resultado F=ma, ¿cómo determinaría si la fuerza es vectorial o escalar (especialmente en 3D)?

En realidad, cuando leí las frases mencionadas del libro, quise saber por qué los autores esperan que sea natural para que pensemos que en 3-D la "Fuerza" se comporta como un vector. Sé que a (aceleración ) es vectorial y la masa un escalar y escalar por vector da un nuevo vector pero ¿hay otra explicación para esto?

Answer 1

Para acabar con la parte graciosa: sabes que la fuerza es un vector por su definición.

Para demostrar que realmente lo es, habría que hacer un experimento: empezar uniendo tres balanzas de resorte (como las que usan los pescadores para pesar pescado) entre sí en el mismo punto, y tirar de los otros extremos de las balanzas horizontalmente en ángulos de 120 grados con una fuerza F igual y distinta de cero. La configuración está en el bonito gráfico ascii de abajo, y se puede saber que las fuerzas son iguales observando las lecturas de cada balanza.

            F
           / 
          /
 F ----- o
          \
           \ 
            F

También observarás que el punto de unión del centro permanece inmóvil, es decir, la fuerza neta es cero.

Si F fuera un escalar, sería imposible sumar o restar exactamente 3 F distintos de cero en cualquier orden, y obtener 0 como resultado.

Ahora que sabes que la fuerza no es un escalar, intentarás encontrar la manera de conseguir que las tres F sumen cero, y te darás cuenta de que si emparejas la dirección de cada muelle con cada F, puedes conseguir exactamente eso:

 F-----F   if you consider the direction each
  \   /    spring was pulled, you can rearrange
   \ /     the forces so that they form a loop,
    F      that is, they add to zero.

A continuación, se realizarían más experimentos, en diversas configuraciones, y se descubriría que, en todos los casos, tratar la fuerza como un escalar emparejado con una dirección da el resultado correcto, momento en el que uno se sentiría justificado para decir: a efectos de cálculo, la fuerza tiene una magnitud y una dirección .

Un vector, por otra parte, no es más que una magnitud emparejada con una dirección, por lo que ha demostrado experimentalmente que dentro de los límites de la medición, la fuerza es un vector .

Answer 2

Depende de la naturaleza de su enfoque y de su interpretación de la palabra "vector". Conceptualmente, un vector espacial es un objeto matemático utilizado para encapsular cantidades que tienen magnitud y dirección. Cuando aplicas una fuerza a algo, el resultado neto sobre el movimiento de ese objeto depende no sólo de la fuerza con la que lo empujas, sino también de la dirección en la que lo haces, por lo que es necesario modelar las fuerzas de forma que se tenga en cuenta el componente de dirección. Esto es tan cierto en tres dimensiones como en una. Es la forma más sencilla de verlo.

Desde una perspectiva matemática, como ya has mencionado, está implícito en la definición.

Answer 3

"Hemos centrado nuestro debate en el movimiento unidimensional. Es natural suponer que para el movimiento tridimensional se comporta como un vector. "- (Introducción a la Mecánica) Kleppner y Kolenkow.

El propio Newton hizo de la naturaleza vectorial de las fuerzas el primer y segundo corolarios de sus tres leyes del movimiento:

Corolario I:
Un cuerpo por dos fuerzas unidas describirá la diagonal de un paralelogramo, en el mismo tiempo que describiría los lados, por esas fuerzas separadas.

Corolario II:
Y así se explica la composición de una fuerza directa cualquiera AD, a partir de dos fuerzas oblicuas cualesquiera AC y CD; y, por el contrario, la resolución de una fuerza directa cualquiera AD en dos fuerzas oblicuas AC y CD: composición y resolución confirmadas abundantemente por la mecánica.

En resumen, las fuerzas son vectores cartesianos, en el sentido matemático de lo que constituye un vector.

La derivación de esos corolarios en el Principia es bastante sospechoso. La segunda ley de Newton aborda la fuerza neta sobre el objeto, mientras que la tercera ley de Newton aborda cómo las fuerzas individuales vienen en pares. Pero, ¿cómo relacionar esas fuerzas individuales con la fuerza neta? A diferencia de Kleppner y Kolenkow, otros textos lo hacen mejor, pues afirmar que las fuerzas son vectores es, en efecto, la cuarta ley del movimiento de Newton.

Una respuesta manual (por ejemplo, Kleppner y Kolenkow) consiste en afirmar que las fuerzas actúan obviamente como vectores, y luego seguir adelante. Una respuesta no manual consiste en afirmar axiomáticamente que las fuerzas son vectores, y seguir adelante. Hay una diferencia sutil pero significativa entre estas dos respuestas. La respuesta manual confunde a los alumnos. La afirmación axiomática invita a los alumnos a cuestionar el axioma. El siguiente paso es, por supuesto, comprobar si el axioma se aplica en el laboratorio.

Answer 4

En realidad, una fuerza física no es un vector. Es una línea en 3D. Una línea con una magnitud. Una fuerza física contiene las siguientes propiedades

• Dirección, $\mathbf{e}$
• Un punto en cualquier parte de la línea, $\mathbf{r}$
• Magnitud, $F$

Para describir una fuerza física con un vector se combinan la magnitud y la dirección en $\mathbf{F} = F\, \mathbf{e}$ un único vector. Pero esto sigue careciendo de la información necesaria para describir una fuerza física.

También necesita una ubicación (el punto de aplicación, o la línea de acción, como se suele decir). Aquí puede elegir entre un punto real $\mathbf{r}$ o el momento equipolente alrededor del origen $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ . Si elige esta última opción, puede recuperar el punto con $\mathbf{r} = \frac{\mathbf{F} \times \mathbf{M}}{\| \mathbf{F} \|^2}$ .

El vector de fuerza que conoces se utiliza habitualmente porque obedece a las reglas del álgebra vectorial

• La suma se realiza por componentes $$\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 = \pmatrix{{Fx}_1+{Fx}_2 \\ {Fy}_1+{Fy}_2 \\ {Fz}_1+{Fz}_2 }$$
• El escalado se realiza por componentes $$\lambda\, \mathbf{F} = \pmatrix{\lambda\,{Fx} \\ \lambda\,{Fy} \\ \lambda\,{Fz} }$$
• Pero las ubicaciones de dos foces no cuadran como vetores.

Para representar fuerzas físicas con vectores se necesitan 6 magnitudes componentes llamadas tornillos $$\hat{f} =\left[ \matrix{ \mathbf{F} \\ \mathbf{r}\times \mathbf{F} } \right]$$ que sí siguen las reglas del álgebra lineal y llevan la información posicional en su interior, produciendo los resultados geométricos y algebraicos correctos.

Answer 5

Pensemos qué pasaría si la fuerza fuera no un vector.

En primer lugar, tenga en cuenta que:

Las leyes de la física son invariantes en el espacio. Un objeto se comporta de la misma manera cuando actúa sobre él una fuerza, tanto si está en París como en Pekín.

Además, observamos:

Las leyes de la física son invariables bajo rotación espacial. Patear un balón de fútbol hará que se aleje de ti independientemente de que estés mirando al Oeste o al Este.

Ahora imaginemos que aplicamos una fuerza a una bola que descansa sobre una mesa. Digamos que observamos que

La pelota empieza a rodar hacia el este a una velocidad de 1 m/s.

Espera. ¿De dónde viene "este"? ¿Por qué no está rodando la pelota oeste ? Por lo tanto, naturalmente concluimos:

Debe haber alguna información adicional contenida en la fuerza que aplicamos a la pelota.

Esa información adicional es dirección .