¿Por qué la fuerza es un vector?

Question

"Hemos centrado nuestro debate en el movimiento unidimensional. Es natural suponer que para el movimiento tridimensional, la fuerza, como la aceleración, se comporta como un vector. "- (Introducción a la Mecánica) Kleppner y Kolenkow

Pero si yo fuera físico y definiera la segunda ley de Newton (experimentalmente) y analizara el resultado F=ma, ¿cómo determinaría si la fuerza es vectorial o escalar (especialmente en 3D)?

En realidad, cuando leí las frases mencionadas del libro, quise saber por qué los autores esperan que sea natural para que pensemos que en 3-D la "Fuerza" se comporta como un vector. Sé que a (aceleración ) es vectorial y la masa un escalar y escalar por vector da un nuevo vector pero ¿hay otra explicación para esto?

Answer 1

Los vectores son cosas que se suman como flechitas. Las flechas suman de punta a cola.

El número de piedras no es un vector. 2 rocas + 2 rocas = 4 rocas.

El desplazamiento es un vector. Si te mueves 2 pies a la izquierda y 2 pies a la izquierda otra vez, te has movido 4 pies. Dos flechas de 2 pies de largo apuntando a la izquierda sumadas de punta a cola equivalen a una flecha de 4 pies de largo apuntando a la izquierda.

Si te mueves 2 pies a la izquierda y 2 pies a la derecha, has retrocedido hasta la salida. Esto es lo mismo que no moverse en absoluto. No puedes añadir piedras de esta manera.

A la fuerza le gusta esto. Dos fuerzas pequeñas a la izquierda equivalen a una fuerza grande a la izquierda. Fuerzas iguales a izquierda y derecha equivalen a ninguna fuerza. Por eso la fuerza es un vector.

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Edición - Los comentarios plantean una cuestión que he pasado por alto. Este punto no suele plantearse cuando se introducen vectores.

Los matemáticos definen un vector como algo que se comporta como flechitas al sumarse y multiplicarse por escalares. Los físicos añaden otro requisito. Los vectores deben ser invariantes bajo transformaciones del sistema de coordenadas.

Una flechita existe independientemente de cómo la mires. Una flecha pequeña no cambia cuando te giras para que mire hacia delante. Del mismo modo, las flechitas no cambian si giras la flecha para que mire hacia delante.

Esto se debe a que el espacio es homogéneo e isótropo. No hay lugares o direcciones especiales en el espacio que te cambiarían a ti o a una flecha si te movieras a una nueva ubicación u orientación. (Si te alejas de la Tierra la gravedad es diferente. Si esto importa, debes mover la Tierra también).

Por el contrario, un escalar es un número único que no cambia con las transformaciones del sistema de coordenadas. El número de rocas es un escalar.

Las coordenadas que describen un vector cambian cuando se modifica el sistema de coordenadas. La componente izquierda de un vector no es un escalar.

Existe un espacio vectorial matemático 1-D paralelo a la coordenada izquierda de un vector. Si se gira el sistema de coordenadas, puede ser paralelo a lo que se ha convertido en la componente anterior. Un físico no diría que es un espacio vectorial.

Answer 2

Un pequeño detalle: la fuerza es no un vector. Al igual que el momento, es un covector o un formulario y covariante. Esto se puede ver de varias maneras:

• del principio del trabajo virtual: la fuerza es una función lineal que asigna desplazamientos infinitesimales $\delta\mathbf{x}$ (un vector) a cambios infinitesimales de energía $F\delta\mathbf{x}$ (un escalar) y, por tanto, un covector por definición.
• Segunda ley de Newton $F=ma$ aceleración: la aceleración es un vector, que se "indexa" por la masa para dar la fuerza.
• Las fuerzas conservativas surgen del diferencial de energía potencial, $F = -dV$ y la diferencial de una función es una forma única (covariante).

La diferencia entre un vector y un covector puede no tener sentido si estás empezando a aprender física, y por ahora, saber que las fuerzas se pueden "sumar de punta a cola" como los vectores puede ser suficiente para los cálculos prácticos. Pero es algo a lo que deberías empezar a prestar atención a medida que madure tu comprensión: al igual que el análisis dimensional, hacer un seguimiento cuidadoso de lo que son tus objetos físicos, matemáticamente, es útil tanto para construir una comprensión más profunda, como para detectar errores.

Answer 3

La aceleración se transforma como un vector de 3 bajo rotaciones (grupo O(3)).

La aceleración se transforma como un vector de 4 bajo rotaciones y aumentos (grupo de Lorentz O(3,1)).

Es muy posible que la aceleración forme parte de una estructura mayor (p. ej.: tensor de 2 índices) bajo un grupo más amplio de transformaciones que incluyan rotaciones, aumentos, deformaciones y traslaciones.

Lo que quiero decir es que cuando se dice que la aceleración (o la fuerza) es un vector de 3 (u otra cosa), hay que especificar para qué grupo de transformaciones. Por ejemplo, "la aceleración se transforma como un 3-vector bajo rotaciones", y por eso la llamamos un 3-vector.

Answer 4

La verdadera respuesta, en mi opinión, no son algunos argumentos filosóficos subyacentes sobre lo que es una fuerza. La respuesta real es que pensar en la fuerza como un vector nos da un modelo que satisface el criterio más importante para cualquier modelo: concuerda con el experimento. Además, es bonito y sencillo, lo cual es una ventaja añadida.

Pensar en las fuerzas como vectores te permitirá hacer predicciones de lo que ocurre cuando haces experimentos, concretamente experimentos en los que aplicas varias fuerzas a la vez. Por ejemplo, coloca un cajón sobre hielo y tira de él utilizando cuerdas con escalas de resorte incrustadas en ellas para medir la magnitud de todas las fuerzas implicadas. Mide y anota todas las fuerzas y sus direcciones, piensa en las fuerzas como vectores, y calcula la fuerza resultante que actúa sobre la caja, lo que te dará una predicción de su aceleración. A continuación, mide su aceleración real. Ambas deben coincidir, con cierto margen de error.

La gente ha hecho experimentos como éste, más y menos sofisticados, durante mucho tiempo, y hasta ahora no hemos encontrado nada que indique que pensar en las fuerzas como vectores dé un resultado erróneo. Por tanto, lo más probable es que pensar en las fuerzas como vectores también dé resultados exactos la próxima vez que tengamos que calcular una predicción.

Así que aprendemos a pensar en las fuerzas como vectores porque funciona. Y entonces los filósofos pueden discutir sobre por qué normalmente poniéndolo en el contexto de un panorama más amplio, que ha también resistido la prueba de los experimentos.

Dicho esto, hay formas naturales de llegar a la idea de incluso considerando que la fuerza es un vector. En concreto, cada fuerza tiene una dirección y una magnitud. Como se ha señalado en otros comentarios, esto no significa necesariamente que deba ser un vector (la energía cinética tiene claramente una dirección y una magnitud, pero no suele considerarse un vector). Pero es suficiente para preguntarse si podría ser un vector y empezar a diseñar experimentos en torno a esa hipótesis.

Answer 5

Yo también tenía esta pregunta y me pasé 5 horas con ella. Al final, la explicación es que el desplazamiento actúa como un vector. Y la aceleración al ser la doble derivada del mismo también actúa como tal. ¿Por qué el desplazamiento actúa como un vector? Bueno, sigue las reglas de la trigonometría y los desplazamientos en una dirección son independientes del desplazamiento perpendicular a ella. De ahí que definamos conceptos vectoriales para englobar este comportamiento. ¿Por qué el desplazamiento sigue las reglas de la trigonometría? Bueno, esto se ha descubierto más o menos observando que derivando. Al fin y al cabo, la base fundamental de todo en matemáticas es también la observación y la lógica.