Orden de las operaciones / Precedencia en notación Sigma

Question

Dada esta ecuación:

$$A^t_j=f(k^i_1 \sum_{i=0,i\neq j}^n A^{t-1}_i W_{ij}+k^j_2 A^{t-1}_j)$$

y estas dos infos:

Notación: ¿Cuál es el alcance de una suma?

https://people.richland.edu/james/lecture/m116/sequences/sequences.html (abajo)

Me parece que el subíndice determina el alcance de sigma, por ejemplo:

+Aj: $$\sum_{i,j}^n A_i + A_j = \sum_{i,j}^n (A_i + A_j)$$

+A: $$\sum_{i,j}^n A_i + A = (\sum_{i,j}^n A_i) + A = A+\sum_{i,j}^n A_i$$

Sin embargo, en el artículo* de donde saqué esta ecuación "sigma" Ai * W y luego añaden k * Aj a la suma - es decir, haciendo b) en lugar de a).

¿Lo que hicieron sigue siendo válido y no está mal?

*Stylios, C. D. y Groumpos, P. P. (2004) "Modeling Complex Systems Using Fuzzy Cognitive Maps", IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS-PART A: SYSTEMS AND HUMANS, VOL. 34, NO. 1, ENERO DE 2004, pp. 155-162.

Edición (29-Mai-17): Para tu información, esta vez he tenido suerte porque han puesto cálculos de ejemplo. Pero no siempre es así. De hecho, tengo un montón de otros trabajos en los que me he quedado perplejo. Por eso espero que lo hayan hecho mal, porque si no, técnicamente hay que ponerse en contacto con cada autor y preguntarle por el significado de su ecuación sigma.

Answer 1

Una advertencia. El subíndice $i,j$ en

\begin{align*} \sum_{i,j} A_i+A_j \end{align*}

no dice nada sobre el alcance del operador sigma $\Sigma$ .

Alcance del operador sigma $\Sigma$ se define únicamente mediante reglas de precedencia aritmética . El ámbito viene dado por la expresión que sigue inmediatamente al $\Sigma$ y es válido respetando las reglas de precedencia aritmética hasta un operador con nivel de precedencia igual a ' $+$ o hasta el final si no hay ningún operador.

Esto implica que \begin{align*} \sum_{i,j}A_i+A_j=\sum_{i,j}(A_i)+A_j=\left(\sum_{i,j}A_i\right)+A_j \end{align*}

También muestra el cálculo utilizando \begin{align*} A^t_j&=f(k^i_1 \sum_{i=0,i\neq j}^n A^{t-1}_i W_{ij}+k^j_2 A^{t-1}_j)\\ &=f(k^i_1 \sum_{i=0,i\neq j}^n \left(A^{t-1}_i W_{ij}\right)+k^j_2 A^{t-1}_j) \end{align*} en el referido documento es válida.

Pista: Puede que encuentres el capítulo 2: Suma en Matemáticas concretas de R.L. Graham, D.E. Knuth y O. Patashnik. Proporciona una introducción completa en el uso de las sumas.