He estado buscando una ecuación que relacione las sumas anteriores en vano. Tal vez, me estoy perdiendo algunas identidades armónicas importantes.
En las sumas, $H_n$ representa el $n^{th}$ número armónico.
Gracias de antemano.
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robit
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Puede que esto no sea una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.
En primer lugar, calcule la función generadora ordinaria (FGO) de < $H_n$ >, que es $$ H(z)=\sum_{n=0}^\infty H_n z^n. $$ Nótese que cada término en es la convolución de < $a_n$ > $=$ < $1,1,1$ , $\ldots$ > y los recíprocos $=$ < $0,1,1/2,1/3$ , $\ldots$ >, es decir, $$ H_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}. $$ Los OGF de < $a_n$ > y < $b_n$ > son $$ A(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}, $$ y $$ B(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n}=-z \ln(1-z) $$ respectivamente. Por lo tanto, $$ H(z)=A(z)B(z)=\frac{-z \ln(1-z)}{1-z}. $$ Sea $G^{(j)}(z)$ denotan el $j$ derivada de tercer orden de $G(z)$ y que $$ {k \brace j}_* = -\frac{1}{j} {k \brace j-1}_* + \frac{1}{j} {k-1 \brace j}_* +[k=j=1]_\delta +[k=j=0]_\delta. \tag{1} $$
Por la ecuación (3.2) en Transformaciones de la función generatriz relacionadas con la forma de las series de Dirichlet y aplicaciones , $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{g_n z^n}{n^k}= \sum_{j=1}^\infty {k+2 \brace j}_* z^j G^{(j)}(z). \tag{2} $$
La serie del OP es $$ \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{n^k} = \sum_{j=1}^\infty {k+2 \brace j}_* (-1)^j H^{(j)}(-1), $$ para $k \in \mathbb N.$
mds
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El artículo " Transformaciones de la función generatriz relacionadas con la forma de las series de Dirichlet y aplicaciones " fue un artículo mío de investigación REGS de 2012 en la UIUC. El contenido de este artículo (que al parecer se ha trasladado a Internet) ha sido sustituido por el trabajo más reciente en este artículo (publicado en el Online Journal of Analytic Combinatorics en 2017) y este artículo (también aparecerá en OJAC en 2018).
Creo que hay otra forma de expresar estas sumas sin tener que recurrir a ese nivel de abstracción y tomando los casos límite como $z \mapsto 1$ sugerido en el post anterior. A saber, podemos realizar el mismo truco para encontrar una expresión exacta para el función zeta alterna $\zeta^{\ast}(s)$ en términos de $\zeta(s)$ utilizando la identidad que $H_{2n}-H_n = H^{\prime}_{2n}$ donde $H^{\prime}_n := \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ : $$\begin{align} H_1^{\ast}(s) & := -\frac{H_1}{1^s} + \frac{H_2}{2^s} - \frac{H_3}{3^s} \\ & = -H_1(s) + (1+2^{-s}) \sum_{n \geq 1} \frac{H_{2n}}{n^s} \\ & = -\sum_{n \geq 1} \frac{H_n}{n^s} + (2^s+1) \sum_{n \geq 1} \frac{H_{2n}}{(2n)^s}. \end{align}$$ Esto supone que tienes una representación en serie conocida para el segundo término en el lado derecho de la ecuación anterior, pero creo que es definitivamente más en la dirección que te dirigías con la pregunta.
