Definición de conexión simple

Question

Me dieron la siguiente definición de "conexión simple":

"Let $X$ sea un espacio conectado localmente por arcos. Entonces, X es simplemente conexo si su grupo fundamental es trivial, o equivalentemente, si cada camino cerrado en $X$ es homotópica a una constante".

Intento demostrar esta afirmación de "equivalencia".

Supongamos que todo camino cerrado en $X$ es homotópica a una constante, $e_x$ . (Recordemos que $e_x(t) = x$ donde $x \in X$ y $t$ está en algún intervalo). Sea $\alpha$ y $\beta$ sea homotópico a $e_x$ . Es decir, $\alpha \simeq e_x$ y $\beta \simeq e_x$ . Dado que la homotopía es una relación de equivalencia, se deduce que $\alpha \simeq \beta$ . Por lo tanto, $\alpha \in <\beta>$ donde $<\beta>$ es la clase de equivalencia homotópica de $\beta$ . Por lo tanto, $<\beta>$ no es vacío. Ahora bien, el grupo fundamental de $X$ es el grupo de clases de equivalencia homotópica de bucles en $X$ . Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo puede el grupo fundamental ser trivial, ya que contiene $<\beta>$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

El grupo fundamental es trivial si sólo tiene un elemento si la única clase homotópica es la trivial si todo bucle es homotópico a la identidad, que es el bucle constante.

Para intentar responder a tu pregunta, la idea es que, cuando el grupo fundamental es trivial, cada bucle $\beta$ es homotópica nula.

Así, mientras $\beta$ puede no ser la identidad ( o bucle constante), es homotópico a ella. Por ejemplo, esto es cierto en la esfera, $S^2$ mediante una homotopía o deformación fácilmente visualizable.

Lo que estás olvidando es que estamos hablando de clases de homotopía de bucles no sólo los bucles. Este "truco" es lo que hace que el grupo fundamental sea un objeto manejable en muchos casos.

¿O te olvidas de que el grupo trivial es diferente del conjunto vacío? El grupo trivial contiene la identidad, $e$ como todo grupo.

Answer 2

Tenga en cuenta que ha demostrado que $\alpha \cong e_x$ y $\beta \cong e_x$ . También te has dado cuenta de que la homotopía es una relación de equivalencia. Así que no sólo puedes concluir que $\alpha \in [\beta]$ pero también que $\beta \in [e_x]$ . Así que $\alpha \in [e_x]$ . Ya que elegiste $\alpha$ y $\beta$ arbitrariamente, de hecho has demostrado que cualquier bucle está en la misma clase de homotopía que el bucle constante. Pero eso es sólo decir que todo bucle es homotópico nulo, como se requiere.