Probabilidad y teorema de Bayes

Question

Llevo toda la semana intentando resolver este problema utilizando el Teorema de Bayes sin suerte.

Un estudio demostró que en 1990, $45\%$ de todos los implicados en un accidente mortal llevaban puesto el cinturón de seguridad. De los implicados en un accidente mortal que llevaban cinturón de seguridad, $43\%$ resultaron heridos y $27\%$ fueron asesinados. En el caso de los que no llevaban puesto el cinturón de seguridad, las cifras comparables fueron las siguientes $42\%$ y $49\%$ respectivamente.

Halla la probabilidad de que una persona elegida al azar que resultó ilesa en un accidente mortal no llevara puesto el cinturón de seguridad.

Mi suposición inicial fue que están pidiendo P(sin cinturón|no herido) y P(sin cinturón|no muerto) pero no parece ser la respuesta correcta.

Mi siguiente pensamiento fue que están pidiendo lo siguiente P(sin cinturón de seguridad|no herido y no muerto)

Mi problema es que no estoy seguro de cómo obtener la parte dada de la probabilidad. Cualquier idea sería apreciada.

Answer 1

Pues bien, lo primero que solemos hacer en estos casos es poner nombre a los acontecimientos. Así, pongamos $B=\{$ un pasajero lleva puesto el cinturón de seguridad durante un accidente mortal $\}$ , $K=\{$ un pasajero muere en un accidente mortal $\}$ , $I=\{$ un pasajero resulta herido en un accidente mortal $\}$ y $U=\{$ un pasajero resulta ileso en un accidente mortal $\}$ .

Lo que sabemos es $P(B) =0.45$ , $P(I\mid B) = 0.43$ y $P(K\mid B) = 0.27$ . Los 2 últimos implican $P(U\mid B) = 1-0.43-0.27 = 0.3$

Además, sabemos $P(I\mid B') = 0.42$ y $P(K\mid B') = 0.49$ . De nuevo, tenemos que $P(U\mid B') = 1-0.42-0.49 = 0.09$ .

La probabilidad que buscamos es $\boxed{P\big(B' \mid U \big)}.$

Tenemos que $$P(U)\begin{array}[t]{l}= P(B)\cdot P\big(U\mid B\big)+ P(B')\cdot P\big(U\mid B'\big)\\ =0.45\times 0.3+(1-0.45)\times 0.09\\ =0.1845. \end{array}$$

Además, tenemos que $$P\big(B'\mid U\big) = \dfrac{ P\big(U\mid B')\cdot P(B')}{P(U)}=\dfrac{0.0495}{0.1845}\approx 0.268.$$

Answer 2

Mi interpretación es que la pregunta pide $P(S^c|U)$ donde $S$ significa "llevaba cinturón de seguridad" y $U$ significa ni herido ni muerto. Entonces

$$P(S^c|U) = \frac{P(S^c U)}{P(U)} = \frac{P(S^c U)}{P(SU) + P(S^c U)},$$

donde las intersecciones se denotan como productos. Esto es en el formato exacto del Teorema de Bayes. Usted debe ser capaz de obtener ambas probabilidades en el lado derecho de esta ecuación.

Por ejemplo, $P(SU) = P(S)P(U|S) = (.45)(1 - .27 - .43).$ Deberías ser capaz de seguir a partir de ahí.

Habría estado bien que compartieras lo que crees que es la respuesta correcta.