Como la localización conmuta con la toma de cocientes, sabemos que $ \mathbb{Z}_{(p)} / (p) \mathbb{Z}_{(p)}$ y $\mathbb{F}_p$ donde $p$ es primo, son isomorfos, pero me cuesta demostrar que el mapa natural $\frac{r}{s} \mapsto [r]_p$ es un homomorfismo, o incluso que está bien definido (lo que me permitiría utilizar el $1$ teorema del isomorfismo para demostrar el resultado inicial, ya que el núcleo es claramente $(p) \mathbb{Z}_{(p)}$ ). Por ejemplo: Supongamos que $f(\frac{r}{s} + \frac{u}{t})= f(\frac{r}{s})+f(\frac{u}{t}) \Leftrightarrow f(\frac{rt+us}{st})=[r]_p+[u]_p \Leftrightarrow [rt]_p+[us]_p=[r]_p+[u]_p$ y esto no me lleva a ninguna parte. ¿Estoy pensando en el mapa equivocado? Parece muy intuitivo.
Respuesta
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Estás utilizando el mapa equivocado. Piénselo así: un elemento de $\mathbb{Z}_{(p)}$ es una fracción $\frac{r}{s}$ donde $s$ es un número entero no divisible por $p$ . Para obtener un homomorfismo, no basta con asignar esto a $r$ ya que eso sería ignorar el valor de $s$ . En particular, $\frac{1}{s}$ debe corresponder a un elemento que, multiplicado por $s$ da $1$ . Es decir, debe corresponder a la inversa multiplicativa de $s$ mod $p$ . Así que.., $\frac{r}{s}$ debe corresponder a $rs^{-1}$ mod $p$ donde $s^{-1}$ es la inversa multiplicativa de $s$ mod $p$ .
