Un grupo de 20 alumnos se dispondrá en dos filas.

Question

He aquí el problema:

Un grupo de $20$ estudiantes, incluyendo $3$ niñas en particular y $4$ niños en particular, se alinearán en dos filas con $10$ estudiantes cada uno. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto si el $3$ chicas en particular deben estar en la primera fila mientras que el $4$ ¿los chicos deben estar en la última fila?

A continuación está mi solución, que es incorrecta según la respuesta del libro. La pregunta es ¿dónde está el error?

En primer lugar, elija $7$ estudiantes para estar con las chicas de la primera fila. Hay $\binom{13}{7}$ formas de hacerlo. Los seis estudiantes restantes están con los chicos. Hay $3!$ formas de organizar a las chicas y $4!$ maneras de organizar a los chicos. Si tratas los grupos de chicos y chicas como objetos individuales, tienes $8$ en la primera fila y $7$ objetos de la segunda fila. Entonces, el número total de formas de disponer a los alumnos como se requiere es $$\binom{13}{7} \cdot 3! \cdot 7! \cdot 4! \cdot 8!$$

Answer 1

Me parece que has tenido en cuenta todas las formas en que los particulares pueden ordenarse dentro del conjunto de particulares, pero no cómo pueden intercalarse con la fila en general. Mi respuesta habría sido ${13 \choose 7} \times 10! \times 10!$ -- es decir, me preocupo de la ordenación de las filas al final en lugar de ordenar las particulares y no particulares por separado. ¿Es esa la respuesta que buscaban?

Answer 2

${13\choose 7}$ opciones de personas para ir con las 3 chicas en particular para la primera fila.

La fila de atrás se elige automáticamente.

Permute cada fila por separado para obtener el resultado: ${13\choose 7}$ $\cdot$ $(10!)^2$

Answer 3

Creo que tu primer error es que has dicho que hay $\binom{13}{7}$ formas de organizar a los otros siete estudiantes, teniendo en cuenta el grupo de las tres chicas (¡bastante quisquillosas!). Por comodidad, llamemos a los 20 alumnos A,B,C,...,R,S,T (por tanto, chicas= $\{A,B,C\}$ y chicos= $\{Q,R,S,T\}$ ). $\binom{13}{7}$ da el número de maneras en que las 13 personas restantes pueden disponerse de siete en siete cuando el orden no importa. Pero si alineamos un grupo particular de 7, digamos D,E,F,G,H,I,J entonces esto es lo mismo que E,D,F,G,H,I,J pero son dos formas distintas de disponer a los estudiantes. Mi planteamiento sería considerar los tres grupos por separado. Como usted ha dicho, hay 6 formas de distribuir a las chicas y 24 formas de distribuir a los chicos. Para los 13 alumnos restantes, en los que el orden sí importa, tenemos $^{13}P_7=1716$ formas de organizarlos. Así que la respuesta es $1716\times 24\times 6 = 247104$ que multiplicamos por dos, ya que hay dos líneas. Espero que te sirva de ayuda.