La relación entre la media y la varianza en el contexto de la energía del sistema y la función de partición

Question

Estoy mirando un específico derivación en wikipedia relevante para la mecánica estadística y no entiendo ni un paso.

$$ Z = \sum_s{e^{-\beta E_s}} $$

$Z$ (la función de partición) codifica información sobre un sistema físico. $E_s$ es la energía de un estado concreto del sistema. $Z$ se obtiene sumando todos los estados posibles del sistema.

El valor esperado de $E$ se encuentra:

$$ \langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} $$

¿Por qué la varianza de $E$ definida simplemente como:

$$ \langle(E - \langle E\rangle)^2\rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2} $$

sólo una derivada parcial de la media.

¿Qué hay en este problema que relaciona la varianza y la media de esta manera?

Answer 1

La respuesta es válida para la suma de particiones $Z$ (que está estrechamente relacionado con el función generadora de momentos ). La razón es la estructura especial de la suma de partición $$Z = \sum_s e^{-\beta E_s}.$$ El sistema se caracteriza por con probabilidad $$P_s=\frac{e^{-\beta E_s}}{Z}$$ que un estado $s$ con energía $E_s$ se alcanza.

Dada esta definición, es fácil ver que $$-\partial_\beta \ln Z = -\frac{\partial_\beta Z}{Z} = \sum_s E_s \frac{e^{-\beta E_s}}{Z}= \sum_s P_s E_s =\langle E \rangle .$$

Del mismo modo, uno puede convencerse fácilmente de que $$ \begin{align*} \partial_\beta^2 \ln Z &= -\partial_\beta \left[ \sum_s E_s \frac{e^{-\beta E_s}}{Z} \right] =\sum_s E_s^2 \frac{e^{-\beta E_s}}{Z} - \left[ \sum_s E_s \frac{e^{-\beta E_s}}{Z}\right] \left[\sum_{s'} E_{s'} \frac{e^{-\beta E_{s'}}}{Z}\right]\\ &= \langle E^2\rangle -\langle E\rangle^2 = \langle (E- \langle E\rangle)^2\rangle, \end{align*}$$ es decir, la varianza viene dada por la segunda derivada de $\ln Z$ .

Answer 2

Has visto el enlace de la definición de varianza o valor esperado en wiki, aquí ?

Answer 3

La varianza de una variable aleatoria $X$ se define siempre como $<(X - <X>)^2>$ es el cuadrado esperado de la diferencia entre los valores esperados y los reales.