Abuso de notación o me estoy perdiendo algo

Question

Estoy leyendo un texto con atención y me he encontrado con una parte que es algo confusa.

Supongamos que existe un $C^1$ función $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ y fijando $x$ y $y$ definimos $\phi(t) = F(x+ty)$ . Mi texto dice que por el teorema fundamental del cálculo podemos escribir $$F(x+y) = F(x) + \int_0^1 DF(x+ty)y \ dt$$

¿Cómo se define la operación en el integrando si $DF$ se relaciona con algo $m$ -dimensiones y $y$ es $n$ -dimensional. Estoy siendo un poco puntilloso, pero quiero asegurarme de que no hay lagunas en mi comprensión.

Answer 1

Para cada valor $x + ty$ la derivada $DF(x + ty)$ es a su vez un mapa lineal $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ . Por lo tanto, actuando sobre $y \in \mathbb R^n$ , $$DF(x + ty)y \in \mathbb R^m$$

Answer 2

De hecho, la derivada de un mapa diferenciable $F: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ en un punto $x \in \mathbb{R}^{n}$ que denoto por $dF^{x}$ es por definición un mapa lineal $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ . Una razón por la que muchos autores escriben $DF(x)$ en lugar de $dF^{x}$ es: un mapa $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ es lineal si existe algún $m \times n$ matriz $A$ tal que $f(x) = Ax$ para todos $x \in \mathbb{R}^{n}$ la matriz jacobiana de $f$ en un punto $x \in \mathbb{R}^{n}$ es por definición la matriz de $df^{x}$ con respecto a las bases habituales y se denota por $Df(x)$ Por lo tanto $df^{x}(y) = Df(x)\cdot y$ para todos $y \in \mathbb{R}^{n}$ .

Por la regla de la cadena, formalmente tenemos $\varphi'(t) = DF(x+ty)y$ por lo que el mapa que se integra es en realidad el mapa $t \mapsto DF(x+ty)y: [0,1] \to \mathbb{R}^{m}$ pero el mapa $t \mapsto DF(x+ty)$ lleva $[0,1]$ a $\mathscr{C}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$ .

Prefiero no utilizar $Df(x)$ para denotar la derivada de $f$ en $x$ ; lo reservo para la matriz jacobiana. Le animo a comprobar si el autor utiliza $Df(x)$ para referirse a un mapa o a una matriz; si es el primer caso y si aún no está familiarizado con ello, puede escribir $Df(x)(y)$ para recordártelo.