Demuestra que $\mathbb{Q}(\sqrt2) $ es isomorfo a $\mathbb{Q}(\sqrt2 +2 )$ ¿pero es más? ¿Son estos campos iguales? $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2 |a,b \in \mathbb{Q}\}$ $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{c+d(\sqrt2+2) |c,d \in \mathbb{Q}\}$ por lo que podemos encontrar homomorfismos que envíen a $a +b \rightarrow c+2d +d$ donde $a=c+2d$ y $b=d$ . ¿Es eso correcto? Cuando son iguales también son isomorfos.
Respuestas
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Lo más sencillo es demostrar que $\sqrt 2 = (\sqrt 2+2)-2 \in \mathbb Q(\sqrt 2+2)$ y $\sqrt 2+2 \in \mathbb Q(\sqrt 2)$ - que es trivial.
De la primera obtenemos $\mathbb Q(\sqrt 2) \subseteq \mathbb Q(2+\sqrt 2)$ y de la segunda obtenemos la inclusión inversa.
Por tanto, los dos campos son iguales y, por tanto, isomorfos.
Aloysius Godinho
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Sugerencia : Puede escribir $S_1=\{c+d(\sqrt{2}+2): c,d \in \mathbb{Q}\}$ como $S_2=\{(c+2d)+d(\sqrt{2}): c,d \in \mathbb{Q}\}$ .
Lógicamente no hace falta encontrar ningún isomorfismo. Todo lo que necesitas saber es que como conjuntos $S_1=S_2$ . Entonces, como ambos son subconjuntos de $\mathbb{R}$ obviamente tienen la misma estructura de campo inherente.
Lubin
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Debería haber visto que existe una caracterización equivalente de $k(S)$ donde $k$ es un campo, y $S$ es un subconjunto (o elemento) de un campo mayor $\Omega$ . La definición que aparentemente has visto es "el conjunto de todas las expresiones racionales en $S$ con coeficientes en $k$ ". Pero también puede definir $k(S)$ como la intersección de todos los subcampos de $\Omega$ que contienen $k$ y $S$ o, en otras palabras, el subcampo más pequeño de $\Omega$ que contiene $k$ y $S$ . La equivalencia de estas dos definiciones no es difícil de demostrar.
Con esta última definición no hace falta ningún argumento para ver que si $\lambda\in\Bbb Q$ entonces $\Bbb Q(s)=\Bbb Q(s+\lambda)$ .
