norma en el espacio de sobolev

Question

Si $V=\{ u\in H^{1}_{0}(\Omega) : u^2\in H^{1}_{0}(\Omega)\}$ donde $H^{1}_{0}(\Omega)$ es un espacio de Sobolev (cuyas funciones desaparecen cerca de la frontera) y $\Omega$ es un dominio acotado en ${\rm I\!R}^{n}$ y n $H^{1}_{0}(\Omega)$ , $\|u\|=(\int_{\Omega}|\nabla{u}|^{2} dx)^{\frac{1}{2}}$ entonces para $u\in V$ podemos decir, $\|u^2\|\leq \|u\|^2$ ?

donde $|\nabla{u}| $ es habitual ${\rm I\!R}^{n}$ norma.

Answer 1

No. Para ver por qué, supongamos que se cumple la desigualdad. Puesto que $\nabla u^2 = 2u\nabla u$ tendríamos

$$\left(\int_\Omega 4u^2|\nabla u|^2 dx\right)^\frac{1}{2} \leq \int_\Omega |\nabla u|^2 dx$$

para todos $u \in V$ . Ahora considere reemplazar $u$ por $u+C$ para una constante $C$ . Desde $\nabla (u+C)=\nabla u$ y $u+C \in V$ tendríamos

$$\left(\int_\Omega 4(u+C)^2|\nabla u|^2 dx\right)^\frac{1}{2} \leq \int_\Omega |\nabla u|^2 dx$$

para cada $u$ y todas las constantes $C$ . Dado que sólo el lado izquierdo depende de $C$ podemos hacer $C$ grande para violar la desigualdad (a menos que $u$ es constante por lo que $\nabla u \equiv 0$ .). Por tanto, la desigualdad no puede cumplirse.