¿Los números reales son una extensión de campo de los racionales?

Question

En la preparación de un próximo curso de teoría de campos estoy leyendo un artículo de Wikipedia sobre extensiones de campos. Dice que los números complejos son una extensión de campo de los reales. Entiendo esto ya que $\mathbb R(i) = \{ a + bi : a,b \in \mathbb R\}$ .
Entonces el artículo afirma que los reales son una extensión de campo de los racionales. No entiendo cómo puede ser esto. ¿Qué es lo que se adhiere a $\mathbb Q$ para conseguir todos los reales? El artículo no parece decir nada más sobre esto. ¿Hay alguna manera de explicar esto a alguien que aún no ha tomado un curso de teoría de campos?

Answer 1

Decir que "los reales son una extensión de los racionales" sólo significa que los reales forman un campo que contiene a los racionales como subcampo. Esto hace no significa que los reales tienen la forma $\mathbb{Q}(\alpha)$ para algunos $\alpha$ En efecto, no lo hacen. Hay que unir innumerables elementos a los racionales para obtener los reales.

Answer 2

Para $\mathbb{R}$ para ser una extensión de campo de $\mathbb{Q}$ Todo lo que necesitamos es que $\mathbb{R}$ es un campo que contiene $\mathbb{Q}$ como subcampo. Eso es definitivamente cierto.

El construcción es un poco más delicada y de naturaleza analítica: $\mathbb{R}$ es el finalización de $\mathbb{Q}$ y es sustancialmente mayor. Dado que $\mathbb{R}$ es incontable, no es una extensión de grado finito, lo que significa que no se puede escribir $\mathbb{R} = \mathbb{Q}(a_1, a_2, ..., a_n)$ para alguna secuencia finita de símbolos $a_i$ (ni siquiera una secuencia contable). Hay que unir un número incontable de símbolos.

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Si estás interesado en una forma de construir reales a partir de racionales, echa un vistazo a Cortes de Dedekind .

Answer 3

Estás confundiendo la extensión de campo con la extensión de campo algebraico. En el primer caso, sólo necesitas un homomorfismo de campo no trivial de los racionales a los reales, que será inyectivo.

Answer 4

La extensión del campo es de un grado bastante alto. Hay que adosar infinitos elementos (más exactamente continuos). Nadie puede darte una lista explícita, al menos no una no redundante.

Un campo $L$ siendo una extensión del campo $K$ sólo significa que $K \subset L$ y las operaciones sobre elementos de $K$ son los mismos cuando se consideran en $K$ y en $L$ .

Así que realmente sólo dice que los racionales son un subconjunto de los reales, y no importa si sumo y multiplico dos racionales pensando en ellos como racionales o como reales.

Answer 5

Varias personas aquí ya han señalado que, aunque $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $\mathbb{R}$ este hecho no es "causado" por la misma explicación que $\mathbb{R}$ siendo un subcampo de $\mathbb{C}$ . Con mucho tino, $\mathbb{C}$ es una extensión algebraica completa de $\mathbb{R}$ mientras que $\mathbb{R}$ es una extensión métrica completa de $\mathbb{Q}$ .

Si $N$ es una norma en un anillo $R$ podemos definir las secuencias de Cauchy en $R$ con respecto a $N$ como aquellos $(x_n)$ con $\forall \delta \in \mathbb{R}^+ \exists N\in\mathbb{N} \forall m,\,n \in \mathbb{N} (m,\,n > N \to N(x_m-x_n)<\delta)$ . También podemos definir secuencias nulas en $R$ con respecto a $N$ , a saber. $\forall \delta \in \mathbb{R}^+ \exists N\in\mathbb{N} \forall n \in \mathbb{N} (n > N \to N(x_n)<\delta)$ . Llamamos a las secuencias de Cauchy $(x_n),\,(y_n)$ equivalente si $(x_n-y_n)$ es una secuencia nula. Podemos pensar que las secuencias de Cauchy equivalentes "tienen el mismo límite", aunque ese límite no exista en $R$ . Nosotros decimos $R$ es métrico-completa si contiene sus límites de las secuencias de Cauchy; para la elección $N(x)=|x|$ , $\mathbb{R}$ es métrico-completo pero $\mathbb{Q}$ no lo hace. De hecho, al igual que podemos identificar $\mathbb{C}=\mathbb{R}[i]$ con $i^2=-1$ podemos identificar $\mathbb{R}$ con el conjunto de clases de equivalencia en $\mathbb{Q}$ con $N(x)=|x|$ . Cada número real es una de estas clases de equivalencia. Por ejemplo, $\sqrt{2}$ es el conjunto de secuencias de Cauchy $(x_n)$ en $\mathbb{Q}$ para lo cual $x_n^2 \to 2$ .

Si quiere algo con lo que comparar el $\mathbb{Q}$ -a- $\mathbb{R}$ se puede considerar la extensión $p$ - números de adictos . Se obtienen de la misma manera, pero con una elección diferente de $N$ . La norma trivial $$N\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & x=0\\ 1 & x\neq0 \end{array}\right.$$ sólo obtiene secuencias de Cauchy eventualmente constantes, que son equivalentes si sus valores eventualmente constantes coinciden, por lo que $\mathbb{Q}$ es métrico-completa con respecto a esta elección. Se puede demostrar que las únicas otras normas sobre $\mathbb{Q}$ son los $p$ -normas de la vida; para las normas fijas $p\in\mathbb{P}$ definir $$\text{ord}_p x=\inf {k\in\mathbb{Z}|p^k x\in\mathbb{Z}},\,N(x)=p^{-\text{ord}_p x}.$$ Ahora obtenemos diferentes secuencias de Cauchy y diferentes clases de equivalencia de las mismas (ya que tenemos diferentes secuencias nulas), y la $p$ -número de radicales $\mathbb{Q}_p$ difieren de los reales (así como de los $q$ -número de radicales para $q\in\mathbb{P}$ con $p\neq q$ ).

Todas las terminaciones métricas de $\mathbb{Q}$ también son extensiones de campo. Todos ellos pueden extenderse algebraicamente introduciendo una unidad imaginaria; también hay complejo $p$ *números arcaicos* $\mathbb{C}_p$ .