¿Cómo aplicar la transformada de Fourier?

Question

Tengo la ecuación \$5\cos(t)e^{-3t}u(t)\$ y su transformada de Fourier es $$\frac{5(3+j\omega)}{(3+j\omega)^2 + 1}$$ No sé cómo llegar a esta respuesta.

Utilizando la tabla de pares FT, tengo \$\cos(t)=\pi[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)]\$ y $$e^{-3t}u(t)=\frac{1}{3+j\omega}$$

Usando la propiedad de la multiplicación obtengo: $$\frac{5}{2}\left(\frac{1}{3+j(w-1)}+\frac{1}{3+j(w+1)}\right)$$

Simplemente no puedo entender cómo vamos de aquí a $$\frac{5(3+j\omega)}{(3+j\omega)^2 + 1}$$

Answer 1

Como mencionaste: $$\operatorname{FT}(\cos(t)) = \pi[\delta (\omega-1) + \delta (\omega+1)]$$ $$\operatorname{FT}(e^{-3t}u(t))=\frac{1}{3+j\omega}$$

La multiplicación en el dominio del tiempo es la convolución en el dominio de la frecuencia con factor \$\frac{1}{2\pi}\$ : $$\frac{1}{2\pi}\pi[\delta (\omega-1) + \delta (\omega+1)] * \left(\frac{1}{3+j\omega}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}[\delta (\omega-1) + \delta (\omega+1)] * \left(\frac{1}{3+j\omega}\right)=$$ Como convolución de una función \$f(\omega)\$ con \$\delta (\omega-a)\$ es \$f(\omega-a)\$ :

$$=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3+j(\omega-1)} + \frac{1}{3+j(\omega+1)}\right)=$$

$$=\frac{1}{2}\left( \frac{3+j(\omega+1)+3+j(\omega-1)}{(3+j(\omega+1))(3+j(\omega-1))} \right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left( \frac{6+ 2j\omega}{ 9+3j(\omega+1+\omega-1)-(\omega+1)(\omega-1) }\right)=$$ $$=\frac{3+ j\omega}{ 9+6j\omega-\omega^2+1 }=$$ $$=\frac{3+ j\omega}{ (3+j\omega)^2+1 }$$ Añade el factor \$5\$ que omitimos al principio, y obtendrá su resultado.