Un grupo $G$ de orden $32$ actuar en grupo $X$ pedir $15$ Demuestre que hay al menos un elemento en el conjunto $X$ que permanece estable bajo la acción de $G$

Question

Un grupo $G$ de orden $32$ actuar en grupo $X$ pedir $15$ Demuestre que hay al menos un elemento en el conjunto $X$ que permanece estable bajo la acción de $G$

¿Alguna idea o pista para demostrarlo?

Answer 1

Desde $|G|=32 = 2^5$ cada elemento de $G$ debe tener un poder de $2$ como su orden. Consideremos el grupo isótropo $$G(x) = \{g\in G : g(x)= x\}$$ Se trata de un subgrupo de $G$ ya que si $g,h\in G(x)$ entonces $g(h(x))=g(x)=x$ . Si dejamos que $G_x$ denota la órbita de $x\in X$ entonces tenemos $|G_x|\cdot |G(x)| = |G|$ . Véase http://mathworld.wolfram.com/GroupOrbit.html y http://mathworld.wolfram.com/IsotropyGroup.html para más información.

Desde $|G|$ es una potencia de $2$ entonces también $|G_x|$ y $|G(x)|$ deben ser potencias de 2. Esto es cierto para cada $x\in X$ y los órdenes de las órbitas deben sumar 15, ya que hay 15 elementos en total. La única manera de que algunas potencias de 2 sumen 15 es que haya al menos un 1 (es decir. $2^0$ ).

Answer 2

$X$ se particiona en sus órbitas bajo $G$ . La fórmula de clase muestra que el cardinal de una órbita es un divisor de $\lvert G\rvert$ por lo tanto, una potencia de $2$ Si no hubiera punto fijo, el cardinal de cada órbita sería un positivo poder de $2$ y $\lvert X\rvert$ estaría en paz.