Convergencia débil en $L^2$

Question

Estoy estudiando la convergencia débil en $L^p$ espacio y tengo problemas para entender la siguiente identidad:

Si $u_n \rightharpoonup u$ en $L^2(\mathbb{R}^N)$ , $$ \|u \|^2 + \limsup_{n \to \infty} \| u_n - u \|^2 = \limsup_{n \to \infty} \|u_n\|^2 .$$

¿Alguien puede mostrarme cómo conseguirlo?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Primero tenemos $$ \| u_n-u \|^2 = \langle u_n-u, u_n-u \rangle = \|u_n\|^2 + \|u\|^2 - 2 \Re \langle u_n, u \rangle, $$ donde $\Re$ denota la parte real.

Ahora bien, puesto que $u_n \rightharpoonup u,$ para cualquier $\epsilon>0$ hay algo de $N$ tal que $|\langle u_n, u \rangle - \langle u, u \rangle| < \epsilon$ siempre que $n>N.$ Por lo tanto $\langle u_n, u \rangle = \|u\|^2 + \delta,$ donde $|\delta|<\epsilon.$ Así, $$ \| u_n-u \|^2 = \|u_n\|^2 + \|u\|^2 - 2 \Re (\|u\|^2 + \delta) = \|u_n\|^2 - \|u\|^2 - 2 \Re\delta $$ es decir $$ \|u\|^2 + \| u_n-u \|^2 = \|u_n\|^2 - 2 \Re\delta $$

Tomando los límites como $n \to \infty$ terminamos con $$ \|u\|^2 + \lim_{n\to\infty} \| u_n-u \|^2 = \lim_{n\to\infty} \|u_n\|^2 $$ y por lo tanto también $$ \|u\|^2 + \limsup_{n\to\infty} \| u_n-u \|^2 = \limsup_{n\to\infty} \|u_n\|^2 $$

No sé si me estoy perdiendo algo. Como puedes ver obtengo un resultado más fuerte con límites ordinarios, no sólo límite superior.

Answer 2

Si $\left(a_n\right)_{n\geqslant 1}$ , $\left(b_n\right)_{n\geqslant 1}$ y $\left(\delta_n\right)_{n\geqslant 1}$ son secuencias de números reales tales que $a_n=b_n+\delta_n$ y $\delta_n\to 0$ entonces $\limsup_{n\to +\infty} a_n=\limsup_{n\to +\infty} b_n$ .

Aplíquelo a $a_n:=\left\lVert u_n-u\right\rVert_2$ , $b_n:=\left\lVert u_n-u\right\rVert_2+\left\lVert u\right\rVert_2$ y $\delta_n:=-2\left\langle u_n,u\right\rangle$ .