Grupo simpléctico $Sp(n)$ actúa transitivamente sobre la Esfera unidad $S^{4n-1}$

Question

Estoy tratando de probar que el grupo simpléctico $Sp(n)$ actúa transitivamente sobre la esfera $S^{4n-1}$ y, en consecuencia $Sp(n)/Sp(n-1)$ es homeomorfo a $S^{4n-1}$ . Para mi $Sp(n)$ es el grupo de $2n\times 2n$ matrices complejas unitarias que satisfacen $AJ=J\bar A$ donde J es la matriz

\begin{bmatrix} 0 & -I_n\\ I_n & 0 \end{bmatrix}

Para mí está claro que estas matrices mapean la esfera en la esfera. Para demostrar la transitividad basta con demostrar que cualquier vector de la esfera puede ser mapeado a, por ejemplo, el vector $(1,0,\dots,0)$ mediante multiplicación por una matriz simpléctica, y demostrar que $Sp(n)/Sp(n-1)$ es homeomorfo a $S^{4n-1}$ basta con demostrar que el estabilizador de $(1,0,\dots,0)$ es precisamente $Sp(n-1)$ . Bueno, esta es la parte en la que estoy atascado. No sé cómo construir una matriz simpléctica que mapee un vector en la esfera a $(1,0,\dots,0)$ o deducir que $Sp(n-1)$ es el estabilizador de ese punto. Agradecería cualquier ayuda al respecto porque en todas partes donde leo estos hechos se presentan como obvios.

[EDITAR] Probablemente sea más fácil enviar el vector $(1,0,\dots,0)$ a cualquier otro $x$ . En ese caso necesito construir una matriz simpléctica cuya primera columna sea $x$ .

Answer 1

Primero, hagamos una buena descripción de $Sp(n)$ . Para $A\in Sp(n)$ escríbalo en forma de bloque $A = \begin{bmatrix} B & C\\ D & E\end{bmatrix}$ donde cada bloque es $n\times n$ . Entonces, un simple cálculo muestra que $AJ = J\overline{A}$ si $A$ tiene la forma $A = \begin{bmatrix} B & -\overline{D}\\ D & \overline{B}\end{bmatrix}$ .

Ahora, dado $x = x_1\in \mathbb{C}^{2n}$ de longitud unitaria, lo extendemos a un conjunto ortonormal como sigue. Elija $x_2$ sea un vector de longitud unitaria en el complemento ortogonal de $\{x_1, Jx_1\}$ Elige $x_3$ sea un vector de longitud unitaria en el complemento ortogonal de $\{x_1, Jx_1, x_2, Jx_2\}$ etc.

Si escribimos $x_i = \begin{bmatrix} y_i \\ z_i\end{bmatrix}$ donde ambos $y_i, z_i \in \mathbb{C}^n$ entonces la forma en que elegimos el $x_i$ garantiza que $\begin{bmatrix} y_i \\ z_i\end{bmatrix}$ es perpendicular a ambos $\begin{bmatrix} y_j \\ z_j\end{bmatrix}$ (cuando $j\neq i$ ) y $\begin{bmatrix} -z_j \\ y_j\end{bmatrix}$ (para cualquier $j$ ).

Ahora, elegimos $B$ y $D$ para que el bloque $2n\times n$ matriz $\begin{bmatrix} B\\ D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n\end{bmatrix}$ .

Afirmo que $A = \begin{bmatrix} B & -\overline{D} \\ D & \overline{B}\end{bmatrix}$ está realmente en $U(2n)$ . En primer lugar, dado que los bloques de la derecha no son más que reordenaciones y conjugaciones de cosas de la izquierda, está claro que cada columna de $A$ tiene longitud unitaria. Por tanto, basta con demostrar que las columnas son perpendiculares entre sí. Esto es obvio si ambas columnas proceden de los bloques de la izquierda o si ambas proceden de los bloques de la derecha. El hecho de que $x_i$ es perpendicular a $Jx_j$ lo muestra cuando una columna procede del bloque de la izquierda y la otra del bloque de la derecha.

Ahora, basta con observar que $A\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} = x$ .

$ \ $

Ahora, calculemos el estabilizador en el punto $p = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ . Si $Ap = p$ se deduce que la primera columna de $A$ es $p$ por lo que la primera columna de $D$ es todo $0$ s, al igual que la primera columna de $B$ salvo que la entrada superior de $B$ es $1$ .

Porque $A\in U(2n)$ si la entrada superior izquierda es $1$ el resto de entradas de la fila superior deben ser $0$ .

De ello se deduce que $B$ tiene la forma $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ldots 0 \\ \begin{array} x0 \\ \vdots \\ 0\end{array} & B'\end{bmatrix}$ y el $D$ tiene la forma $D = \begin{bmatrix} 0 & 0\ldots 0\\ \begin{array} x0\\ \vdots \\ 0\end{array} & D'\end{bmatrix}$ donde $B'$ y $D'$ son ambos $(n-1)\times (n-1)$ matrices. Si establecemos $A' = \begin{bmatrix} B' & -\overline{D'}\\ D' & \overline{B'}\end{bmatrix}$ se deduce fácilmente que $A'\in Sp(n-1)\subseteq U(2(n-1))$ . Esto demuestra que el estabilizador en $p$ se encuentra en $Sp(n-1)$ incrustado en $Sp(n)$ como se muestra.

A la inversa, puesto que la primera columna de cualquier matriz en $Sp(n-1)\subseteq Sp(n)$ es $\begin{bmatrix} 1 \\0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ , $Sp(n-1)$ es un subconjunto del grupo de isotropía en $p$ .