Demostrar la topología $\mathcal{T} = \{\emptyset\} \cup \{(-\infty, c) | c \in \mathbb{R}\}$ es Tychonoff

Question

El problema 14 del capítulo 11 de Análisis Real de Royden y Fitzpatrick es el siguiente:

Consideremos el conjunto de los números reales con la topología formada por el conjunto vacío y los conjuntos de la forma $(-\infty, c), c \in \mathbb{R}$ . Demostrar que este espacio es Tychonoff pero no Hausdorff.

Así que tengo que demostrar que si $u, v \in \mathbb{R}$ y $u < v$ entonces existe una vecindad de $u$ que no contenga $v$ y una vecindad de $v$ que no contenga $u$ . WLOG suponer $u < v$ . Entonces existe un número real $p$ tal que $u < p < v$ . Por tanto, el conjunto abierto $(-\infty, p)$ es una vecindad de $u$ que no contenga $v$ .

Pero ¿cómo puedo encontrar un barrio de $v$ que no contenga $u$ . Un barrio de $v$ es un conjunto abierto que contiene $v$ . Pero todo conjunto abierto es de la forma $(-\infty, c)$ . Así que cada barrio de $v$ es una vecindad de $u$ . ¿Me estoy equivocando?

Además, ¿es $\mathbb{R} \in \mathcal{T}$ ? Debe ser porque $\mathcal{T}$ es una topología. ¿Esto nos obliga a dejar $c$ toman el valor real ampliado $+\infty$ ?

Answer 1

Revisión completa (porque claramente no estaba pensando cuando escribí la respuesta original)

Ese espacio es no Tikhonov (o completamente regular). Es un $T_0$ espacio que no es Hausdorff, y todo espacio completamente regular $T_0$ -es Hausdorff.

Para verlo, veamos $X$ sea un objeto completamente regular $T_0$ -y que $x$ y $y$ sean puntos distintos de $X$ . Sin pérdida de generalidad existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$ y $y\notin U$ . Desde $X$ es completamente regular existe una continua $f:X\to[0,1]$ tal que $f(x)=0$ y $f(z)=1$ para $z\in X\setminus U$ . Ahora dejemos que

$$V=f^{-1}\left[0,\frac12\right)\quad\text{and}\quad W=f^{-1}\left(\frac12,1\right]\;.$$

Desde $f$ es continua, $V$ y $W$ están abiertas en $X$ y claramente $V\cap W=\varnothing$ . Por fin, $x\in V$ y $y\in W$ Así que $V$ y $W$ son una separación Hausdorff de $x$ y $y$ .