En qué fija podemos definir un grupo de operación?

Question

Surgió una pregunta en la mente.

Probar que para todo conjunto no vacío $X$ una operación puede ser sugerido tal que $X$ sería un grupo con la operación. Por ejemplo, es obvio para un finito y contable de conjuntos: $(\mathbb{Z}_n,+), (\mathbb{Q}, +)$. También, se puede hacer para todos los conjuntos de la forma $X=2^L$$(X, \Delta)$, que es la diferencia simétrica en los subconjuntos de a $L$.

Así es, parece que la cuestión se reduce a (1) establece que son altos en la jerarquía de los cardenales (no de la forma $2^L$) y (2) establece que no existen asumiendo la hipótesis continua (entre $\mathbb{R}$$2^\mathbb{R}$, por ejemplo).
Axioma de elección es dado.

O tal vez la intuición que está mal y para algunos juegos no se puede hacer, a continuación, una prueba de la existencia de tales o un simple ejemplo sería agradable. Gracias de antemano.

Answer 1

Si se puede hacer para un conjunto que puede hacerse para cada otro conjunto de la misma cardinalidad (sólo el uso de un bijection para copiar la estructura).

Por lo que sólo toma un conjunto $X$. Tome el conjunto $\Omega$ de todos los subconjuntos finitos de $X$, es de la misma cardinalidad como $X$ (necesitamos axioma de elección).

Ahora echa un vistazo a $\Delta$ ( diferencia simétrica) hace $\Omega$ dentro de un grupo, hemos terminado.

Answer 2

El grupo libre (o la libre Abelian grupo, etc.) generado por un conjunto infinito $X$ tienen la misma cardinalidad como $X.$ por lo Tanto, cada conjunto no vacío es el conjunto subyacente de un grupo.

Answer 3

Si $\kappa$ es un infinito cardenal, a continuación, la cardinalidad de la colección de todos los finita subconjuntos de a $\kappa$ es de nuevo $\kappa$. De modo que la suma directa de $\kappa$ copias de $\Bbb Z_2$ es un grupo de cardinalidad $\kappa$.

(Suma directa, no del producto: El espacio de todas las funciones $f:\kappa\to\Bbb Z_2$ tal que $f(\alpha)=0$ para todos, pero un número finito de $\alpha$.)