Prueba elemental de que $\sum_{j=1}^{n} \prod_{k \neq j} \frac{1}{1+(a_j - a_k + i)^2} \in \mathbb{R}$ para $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ distinto

Question

Mediante una integral de contorno directa, se puede demostrar que para $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ distintos, tenemos

$$\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \prod_{j=1}^{n} \frac{1}{1+(x-a_j)^2} \, dx = \sum_{j=1}^{n} \prod_{k \neq j} \frac{1}{1+(a_j - a_k + i)^2}$$

y, por tanto, esta última suma es de valor real. ¿Existe alguna forma elemental (o al menos puramente algebraica) de demostrarlo sin recurrir al análisis complejo?

Answer 1

Ya que nadie parece dispuesto a responder, permítanme ampliar mi comentario anterior.

Consideremos un problema más general. Supongamos que empezamos con $$\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\prod_{k=1}^n(x-z_k)(x-\bar z_k)},$$ donde todos $z_k$ son distintos por pares y todos $\Im z_k>0$ . El análogo de su problema sería entonces demostrar que $$\sum_{j=1}^n\frac{i}{(z_j-\bar z_j)\prod_{k\ne j}^n(z_j-z_k)(z_j-\bar z_k)}\; \in\mathbb R,$$ que es lo mismo que demostrar que $$\sum_{j=1}^n\frac{1}{(z_j-\bar z_j)\prod\limits_{k\ne j}^n(z_j-z_k)(z_j-\bar z_k)}+\sum_{j=1}^n\frac{ 1}{(\bar z_j- z_j)\prod\limits_{k\ne j}^n(\bar z_j-z_k)(\bar z_j-\bar z_k)}=0\tag{1}$$ Se trata de un caso especial de la identidad $$\qquad\qquad\sum_{j=1}^N\frac{1}{\prod_{k\ne j}^N(u_j-u_k)}=0,\tag{2}$$ que corresponde a la configuración en (2) $N=2n$ y $u_j=z_j$ , $u_{j+n}=\bar z_j$ para $j=1,\ldots,n$ . Queda por demostrar (2).

Conociendo el principio de la historia, una prueba es sencilla: basta con calcular $\displaystyle\int_\Gamma\frac{du}{\prod_{k=1}^N(u-u_j)}$ por residuos de dos formas diferentes (aquí $\Gamma$ es un contorno cerrado alrededor de $u_1,\ldots,u_N$ ). Reducción del contorno $\Gamma$ produce el lado izquierdo de (2), mientras que expandiéndolo hasta el infinito da cero.

Si en cambio queremos una demostración algebraica de (2), podemos utilizar Interpolación de Lagrange . Dado $f_1,\ldots,f_N\in\mathbb C$ existe un polinomio único $Q(x)$ de grado $N-1$ tal que $Q(u_k)=f_k$ y además $$Q(x)=\sum_{j=1}^Nf_j\prod_{k\ne j}^N\frac{x-u_k}{u_j-u_k}.$$ Elija $f_1=\ldots=f_N=1$ para que $Q(x)=1$ . La fórmula anterior se transforma entonces en $$\sum_{j=1}^N\prod_{k\ne j}^N\frac{x-u_k}{u_j-u_k}=1.$$ Igualando los coeficientes de $x^{N-1}$ a ambos lados se obtiene inmediatamente (2).