función holomorfa acotada en el semiplano derecho con periódica 1 debe ser una función constante

Question

Pregunta: Supongamos que $f$ es una función holomorfa acotada en $\{z\in\mathbb{C}:\text{Re}(z)>0\}$ y $f$ es periódica con período 1, es decir $f(z+1)=f(z)$ cuando $\text{Re}(z)>0$ . Demostrar que $f$ debe ser una función constante.

¿Podemos ampliar $f$ sea una función entera en todo el plano complejo? Por ejemplo, ¿podemos obtener una función entera utilizando la extensión par? Si eso es posible, entonces la afirmación puede demostrarse mediante el teorema de Liouville.

Answer 1

Para cualquier $z \in \mathbb{C}$ , dejemos que $n_z$ sea el menor número entero tal que $\Re(z+n_z) > 0$ . Defina $F(z) = f(z+n_z)$ . Se trata de una continuación analítica de $f$ a todo el plano complejo. Por Liouville, $F$ debe ser constante, y por lo tanto $f$ era constante para empezar.