Considere la $\mathbb{Z}$ -módulo $M := \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Busco una secuencia exacta de $\mathbb{Z}$ -módulos $$0 \rightarrow L \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow 0 $$ que no se divide. He probado unos cuantos pero cada vez que creo que tengo uno resulta que he hecho algo mal. Estoy empezando a dudar si $M$ realmente es semi-simple.
Respuesta
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No existe tal ejemplo: $\prod_\mathbb{N}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es de hecho un semisimple $\mathbb{Z}$ -módulo. En efecto, puesto que se trata de un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -puede escribirse como una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ por lo que como suma directa de módulos simples es semisimple.
