¿Cuál es el vínculo entre $\frac{1}{(1 + X^2)}$ y $e^{-X^2}$ ?

Question

Cuando estaba jugando con gráficos, me di cuenta de que la forma de ambos $\frac{1}{(1 + X^2)}$ y $e^{-X^2}$ son muy similares cuando se representan gráficamente.

gráfica de la primera función

gráfica de la segunda función

Sin embargo, no encuentro ninguna relación entre ambas, pero recuerdo vagamente que la primera es un resultado común de una diferencial o una integral. Así que, por curiosidad, ¿quizás alguien sepa que es?

Answer 1

La serie Taylor de $\frac{1}{(1 + X^2)}$ comienza con $1 - X^2 + X^4 \dotsm$ y la de $e^{-X^2}$ comienza con $1 - X^2 + \frac{1}{2}X^4 \dotsm$ Esto puede explicar la similitud de las formas de las gráficas de las dos funciones en torno a $0$ .

Answer 2

La serie de potencias para $e^z$ es $1+z+z^2/2+...$ , y los dos primeros términos coinciden $1+z$ .

De esto, los dos primeros términos de sus recíprocos también coinciden:

$\dfrac1{1+z} =1-z+z^2...$ y $\dfrac1{e^z} =e^{-z} =1-z+z^2/2+... $ .

Por fin, poniendo $x^2$ para $z$ , obtenemos $\dfrac1{1+x^2} =1-x^2+x^4...$ y $\dfrac1{e^{x^2}} =e^{-x^2} =1-x^2+x^4/2+... $ , por lo que difieren para pequeños $x$ por $x^4/2$ .