Esta es la notación que he creado para mi propio uso. Se basa en una alternativa a la notación típica para crear funciones a partir de expresiones "heredadas" utilizando el enlace lambda. La expresión se encierra entre corchetes, y la variable a ser vinculada se coloca debajo del corchete de la derecha (que no es lo ideal, pero es lo mejor que se me ocurrió). Haré todo lo posible para que MathJax muestre todo correctamente: $$f = \Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]\\x}$$ La expresión entre corchetes puede adoptar las funciones de orden superior habituales, como la diferenciación, la inversión y la evaluación: $$f' = \Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]'\\x}$$ $$f^{-1} = \Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]^{-1}\\x}$$ $$f(t) = \Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]\\x}(t)$$ (Como nota al margen, también utilizo $f\langle x \rangle$ en $f(x)$ para la evaluación para separarla de la multiplicación, pero seguiré con la notación estándar ya que esta pregunta no trata de eso).
Para la integración indefinida, llevo la notación del primo de Lagrange un paso más allá, y el apóstrofo va a la izquierda: $$\int f(x) dx = {'f}(x)$$
Cuando se combina con más operaciones, se pueden utilizar paréntesis: $$('f)' = f$$ $$('f)'(x) = f(x)$$ $$('f)^{-1}$$
Integrales indefinidas
Cuando se combina con la notación de paréntesis, obtenemos la notación alternativa que utilizo para las integrales indefinidas: $$\int x^3 + 5x^2 + 1\: dx = {^{^{'}}}\Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]\\x}(x)$$ Algunas notas:
-Omito la especificación de la variable de enlace cuando sólo hay una variable en la expresión o el contexto deja claro qué variable se está enlazando.
-También suelo omitir la parte de evaluación de la expresión (necesaria para vincular el signo de igualdad a una expresión "heredada") cuando trabajo con derivadas o integrales indefinidas, escribiendo cosas como ésta: $${^{^{'}}}\Big[x^3 + 5x^2 + 1\Big] = x^4/4 + 5/3x^3 + x$$ que es estrictamente ilegal y es similar a escribir $$f = x^4/4 + 5/3x^3 + x$$ Esto es un abuso de notación que hago por comodidad, especialmente durante cálculos largos para integrales indefinidas. Sin embargo, se podría hacer un ajuste trivial para rectificar esto, poniendo algún tipo de marca o diacrítico para indicar que la expresión se evalúa utilizando una variable con la misma letra que la variable de enlace. Lo primero que se me ocurre es una pequeña línea que atraviese el corchete derecho, pero no sé cómo hacer que MathJax lo haga para mostrar lo que quiero decir. También se podría escribir $${^{^{'}}}\Big[x^3 + 5x^2 + 1\Big] = \Big[x^4/4 + 5/3x^3 + x\Big]$$ que sería legal.
-El equivalente a la sustitución en u no utiliza ninguna otra variable (se podrían utilizar otras variables, pero la notación se alargaría más de lo necesario, véase más adelante). En su lugar se utiliza la identidad: $${^{^{'}}}\Big[f(x)\Big] = {^{^{'}}}\Big[f(g(x))g'(x)\Big](g^{-1}(x))$$ Aunque en cierto modo podrías acabar 'usando otras variables' definiendo g para no tener que escribir explícitamente su inversa.
-La integración indefinida utilizando esta notación también podría hacerse tratando $\int$ como operador, igual que un apóstrofo a la izquierda: $$\int f = \int\Big[x^3 + 5x^2 + 1\Big] = {^{^{'}}}\Big[x^3 + 5x^2 + 1\Big]$$ Sin embargo, esto es claramente engorroso de escribir, así que lo que se me ha ocurrido es un signo integral modificado que está entre corchetes en lugar de rizado, y toma el lugar del corchete izquierdo. Esto sirve como una forma abreviada de escribirlo. De nuevo no se como hacerlo en MathJax para demostrarlo. Esencialmente tomas la cola inferior del corchete y la volteas para que mire hacia la izquierda, así que tiene la forma de un signo integral, pero recto en lugar de rizado.
Además, tratar $\int$ como operador puede ser muy útil en este caso: $$\int_a^b f$$ en lugar de $$\int_a^b f(x) \: dx$$
Integrales definidas
El símbolo de integral modificada se hace necesario cuando queremos escribir integrales definidas utilizando esta notación. Este símbolo funciona igual que el de la integral estándar. Cuando se le colocan límites, el resultado de la expresión entre paréntesis ya no devuelve una función, porque se evalúa cuando se le colocan límites.
Cuando evalúo los límites utilizando la antiderivada, utilizo algo muy parecido a la notación de compás estándar: $$\int_a^b\Big[x^3 + 5x^2 + 1\Big] = \Big[x^4/4 + 5/3x^3 + x\Big]_a^b$$ En términos más generales, la colocación de dos números a la derecha de una función puede considerarse una función de orden superior: $$\Big(f\Big)_a^b = f(a) - f(b)$$ Antes de hacer el símbolo integral modificado para usar límites con esta notación, consideré usar un enfoque más modular encadenando este operador "diferencia-evaluador" con el operador apóstrofo antiderivada. No seguí mucho más allá porque creí erróneamente que serían necesarios paréntesis para desambiguar qué operador se aplica primero, de forma similar a $('f)^{-1}$ . Sin embargo, al escribir esto me doy cuenta de que sólo hay un orden que es legal y tiene sentido. El operador antiderivada debe ir primero porque el evaluador de diferencias no devuelve una función. Por supuesto, la otra opción de cambiar el evaluador de diferencias para que trabaje en el lado izquierdo de la función no funcionaría bien con el operador antiderivativo apóstrofo, que acabaría justo al lado del límite superior.
Otras observaciones
-Puedes poner otras cosas además de simples variables como las carpetas: $$\Big[x^3 + 5x^2 + 1\substack{\Big]\\x^2} = \Big[x^{3/2} + 5x + 1\substack{\Big]\\x}$$ En general $$\Big[f(x)\substack{\Big]\\g(x)} = \Big[f(g^{-1}(g(x)))\substack{\Big]\\g(x)} = \Big[f(g^{-1}(x))\substack{\Big]\\x}$$ O, algo muy experimental $$y = x^2$$ $$\Big[x^4+6x^2+3\substack{\Big]\\y} = \Big[x^2+6x+3\substack{\Big]\\x}$$ $$\Big[x^4+6x^2+3\substack{\Big]\\y^2} = \Big[x+6\sqrt{x}+3\substack{\Big]\\x}$$ Aunque es engorroso usar esto para algo útil, y no confío en la corrección de todo esto, y puede ser confuso. La notación funcional no se mezcla muy bien con la notación orientada a la expresión.
-Y más sobre este punto, esta notación todavía no es muy buena con ecuaciones paramétricas o tipos similares de mapas de expresión donde se hace difícil enmarcar las cosas en términos de funciones. Este tipo de cosas se insinúa en Formalización de las lecturas de la notación de Leibniz que no recurren a infinitesimales/diferenciales cuando escriben "Hace poco vi un pasaje en el que se hablaba en términos como "x(u) es la función inversa de u(x)"-¿cómo debe entenderse esto con más precisión?". Agradecería cualquier recurso sobre este tipo de cosas. Esto es algo en lo que he estado pensando. Cuando se trata de ecuaciones paramétricas, a menos que haya alguna manera mejor de enmarcarlo en términos de funciones, la notación de Lagrange falla y brilla la notación de leibniz (EDIT: Desde entonces me he dado cuenta de que falla estrepitosamente para segundas derivadas y derivadas superiores, ver este documento ). Por ejemplo, si tiene $$x=f(t)$$ $$y=g(t)$$ La notación de Leibniz hace que sea trivial conceptualizar y encontrar dy/dx sin necesidad de apelar a expresiones explícitas de las inversas de f y g. La notación de corchetes puede hacer el trabajo aquí, pero es algo torpe (¡especialmente con mathjax!) y necesita apelar a funciones inversas (que pueden ser multivaluadas): $$dy/dx = \Big[g(t)\substack{\Big]\\f(t)}{^{^{'}}}(f(t))$$ $$ = \Big[g(f^{-1}(t))\substack{\Big]\\t}{^{^{'}}}(f(t))$$ $$ = \Big[\frac{g'(f^{-1}(t))}{f'(f^{-1}(t))}\substack{\Big]\\t}(f(t))$$ $$ = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$
-La vinculación multivariante puede realizarse utilizando, por ejemplo, $x,y$ en la parte inferior derecha en lugar de una única variable.
-Recomiendo encarecidamente este documento que abandona por completo la notación orientada a expresiones y utiliza la función identidad en lugar de "variables" como x. Tiene ventajas similares a la notación entre corchetes, pero en mi opinión es igualmente inadecuada cuando se trata de funciones multivariantes. Además, se necesita un símbolo más distintivo para la función de identidad, porque iota se parece demasiado a 1 o l. En general, creo que es superior a la notación de corchetes.
