¿Por qué un modelo de clase no puede servir de testigo de la coherencia de una teoría?

Question

En el libro London Mathematical Society Student Texts 98 o Vía rápida al forzamiento , hay un comentario de este tipo en la nota a pie de página sobre el hecho de que el universo Von Neumann satisface todos los axiomas de ZFC:

Esto no quiere decir que hayamos encontrado un modelo de ZFC, ya que V no es un conjunto, es una clase propia.

No entiendo por qué un modelo de clase no puede servir de testigo de la coherencia. De hecho, creo que un modelo de clase está bien:

'Una teoría que tiene un modelo es consistente' es un resultado de la solidez del sistema de deducción. Comprobando la prueba de la solidez, digamos la de Enderton's Introducción matemática a la lógica No he encontrado nada parecido a un requisito para que el universo de un modelo sea un conjunto, es decir, la solidez no requiere que el universo de un modelo sea un conjunto. Es decir, incluso si definimos un modelo para incluir los modelos de clases propias, la afirmación ' una teoría que tiene un modelo es consistente sigue siendo cierto.

Entonces, ¿qué tiene de malo un modelo de clase?

Answer 1

Este es un punto muy sutil que requiere una comprensión cuidadosa de precisamente cómo funcionan las definiciones básicas y las pruebas sobre la relación de satisfacción en un modelo (y en particular, cómo recursión se aplica rigurosamente en la teoría de conjuntos). Dado un modelo $M$ se define una relación $M\models\varphi(a)$ en parejas $(\varphi,a)$ donde $\varphi$ es una fórmula en el lenguaje de $M$ y $a$ es una tupla de elementos de $M$ para sustituir las variables libres de $\varphi$ . Esta definición se realiza por recursión sobre la complejidad de $\varphi$ .

Pero, ¿cómo saber si las definiciones por recursión funcionan realmente? Lo que haces es demostrar por inducción que cada segmento inicial de la definición por recursión existe. Es decir, se prueba por inducción $n$ que para cada $n\in\mathbb{N}$ existe una única relación $M\models_n\varphi(a)$ donde $\varphi$ se limita al conjunto de fórmulas de longitud máxima $n$ que cumple la definición recursiva de satisfacción. La relación de satisfacción general es entonces la unión $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\models_n$ .

Ahora bien, ¿qué ocurre si $M$ ¿es una clase adecuada? Obsérvese que estas relaciones $\models_n$ son en sí mismas clases propias, ya que son relaciones sobre pares $(\varphi,a)$ donde $a$ es una tupla de elementos de $M$ (por lo que existe una clase propia de valores que $a$ puede tomar). Esto significa que en ZFC no se puede expresar la sentencia "para cada $n\in\mathbb{N}$ existe una única relación $M\models_n\varphi(a)$ ...", ya que se trata de cuantificar sobre clases. Así que esta definición recursiva no se puede llevar a cabo, y ni siquiera se puede definir la relación $\models$ sobre una clase propia, y mucho menos demostrar (o incluso expresar) que las pruebas son sólidas con respecto a ella.

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Ahora bien, teniendo en cuenta todo esto, probablemente se pregunte: si no se puede definir la satisfacción para las estructuras de clases propiamente dichas, ¿qué significa siquiera tener un "modelo de clases"? La respuesta es que, aunque no se puede llevar a cabo la definición recursiva para definir la relación $\models$ en la clase de todos los pares $(\varphi,a)$ para cualquier individual fórmula $\varphi$ aún puede definir $M\models\varphi(a)$ realizando "a mano" el número finito de pasos de la recursión. Por ejemplo, si $\varphi$ es $x\in y$ puede definir $M\models \varphi(a,b)$ para significar " $a\in_M b$ ", y puede definir $M\models\forall x(\varphi(a,x))$ para significar " $\forall x\in M(a\in_M x)$ ".

Así, para cada axioma individual $\varphi$ de ZFC, se puede decir lo que significa para la clase $V$ ser un modelo de $\varphi$ . Cuando decimos " $V$ es un modelo de clase de ZFC", se trata en realidad de un metateoría afirmación: está diciendo que tenemos un metateorema que dice para cada axioma $\varphi$ de ZFC, " $V\models \varphi$ "es un teorema. Fundamentalmente, este metateorema no puede expresarse como un único teorema ordinario, ya que " $V\models\varphi$ "no es una fórmula en la que $\varphi$ aparece como variable libre (de modo que podemos cuantificar sobre ella y decir que es cierta para todo $\varphi$ ). En cambio, es una frase separada para cada elección específica de $\varphi$ que no pueden combinarse en una única frase cuantificada.

Del mismo modo, para cada individual prueba, puedes demostrar que esta noción de satisfacción es sólida con respecto a esa prueba. Así, si tuvieras alguna prueba específica de una contradicción de ZFC, podrías implementar esa prueba en tu modelo de clase $V$ para obtener una contradicción. Pero esto no debería ser una sorpresa: si tienes una prueba específica de una contradicción de ZFC, entonces por supuesto que puedes llegar a una contradicción, ¡ya que puedes simplemente llevar a cabo esa prueba de una contradicción! Lo que no puede hacer es demostrar un teorema general que dice que si hay cualquier prueba de una contradicción de ZFC, entonces $0=1$ . Una vez más, esto se debe a que el argumento anterior es un argumento independiente para cada prueba individual, por lo que no puede convertirse en un único teorema cuantificado universalmente sobre todas las pruebas.

Answer 2

El gran problema de las estructuras del tamaño de una clase es que, en general, son demasiado grandes para "usarlas". $\models$ correctamente". Esto es un poco sutil, así que veamos un ejemplo:

Usemos una "suficientemente fuerte" subteoría finitamente axiomatizable $T$ de $\mathsf{ZFC}$ en lugar de $\mathsf{ZFC}$ sí mismo (básicamente esto significa que no tenemos que preocuparnos de los "axiomas no estándar" - si esto no es algo con lo que estés familiarizado, ignóralo por ahora, no es esencial). . El segundo teorema de incompletitud de Godel se aplica a $T$ por lo que existe un modelo $\mathcal{M}$ de $T+\mathsf{\neg Con}(T)$ . Al mismo tiempo, $T$ demuestra el teorema de solidez, por lo que $\mathcal{M}$ piensa que "si $T$ tiene un modelo del tamaño de un conjunto, entonces $T$ es coherente". En consecuencia $\mathcal{M}$ piensa que $T$ no tiene un modelo de tamaño fijo. Por otra parte, en este ejemplo queda claro que $T$ no puede probar "si $T$ tiene un modelo del tamaño de una clase, entonces $T$ es coherente".

A primera vista, esto podría sugerir que existen dos formas de solidez: la "solidez del tamaño del conjunto" y la "solidez del tamaño de la clase", y que la segunda es más sólida que la primera. Sin embargo, la realidad es otra: la "solidez del tamaño de la clase" ni siquiera puede ser expresado en el lenguaje de la teoría de conjuntos ¡! Esto se debe a que $\models$ implica cuantificar sobre (una pequeña porción de) el conjunto de potencias de la estructura en cuestión; una vez que la estructura que estamos analizando es lo suficientemente grande, esto no se puede hacer directamente en absoluto. (Una variante interesante de esta situación se da en el contexto de $\mathsf{NF}$ una teoría de conjuntos alternativa en la que el tamaño es no directamente relacionados con la sedentarización; véase aquí .)

Si se quiere hablar con rigor de estructuras de tamaño de clase, hay que trabajar en una teoría de clases. En ese punto es hiperclase (o conglomerado ) que no se comportan correctamente, etc.