Tal vez valga la pena por qué Cohen-Lenstra predice este comportamiento. Supongamos que K es un campo con r lugares arquimedianos. Entonces Spec O_K puede considerarse análoga a una curva sobre un campo finito k con r puntuaciones, que es un esquema afín Spec R. Escriba C para la curva (no puntuada). Entonces el grupo de clases de R es el cociente de Pic(C)(k) por el subgrupo generado por las clases de las puntuaciones -- o, lo que es lo mismo, el cociente de Jac(C)(k) por el subgrupo generado por los divisores de grado 0 apoyados en las puntuaciones. (Este último subgrupo no es más que la imagen de un homomorfo natural de Z^{r-1} a Jac(C)(k)).
La filosofía de Cohen-Lenstra es que estos grupos y los datos de puntura son "al azar" - es decir, usted debe esperar que la p-parte del grupo de clase de R se parece a lo que se obtendría si se elige un azar abeliano finito p-grupo (donde un grupo A es ponderado por 1/|Aut(A)|) y mod por la imagen de un homomorfismo al azar de Z^{r-1}. (Hay varias maneras en que esta descripción es ligeramente fuera de la marca, pero esto da el punto general).
Resulta que cuando r > 1 la probabilidad es bastante buena de que un homomorfismo aleatorio de Z^{r-1} a A sea suryectivo. De hecho, la probabilidad es lo suficientemente cercana a 1 que cuando se toma un producto sobre todos los p todavía se obtiene un número positivo. En otras palabras, cuando r > 1 Cohen-Lenstra predice una probabilidad positiva de que el grupo de clase tendrá p-parte trivial para todos los p; en otras palabras, es trivial. (De hecho, predice una probabilidad exacta, que se ajusta bastante bien a los datos experimentales).
En cambio, cuando r = 1, el grupo de clase es el propio A, y la probabilidad de que su parte p sea trivial es del orden 1-1/p. Ahora bien, el producto sobre todos los p es 0, por lo que uno NO espera ver una proporción positiva de grupos de clase triviales. Y de hecho, cuando sólo hay un lugar arquimediano -- es decir, cuando K es cuadrático imaginario -- ¡esto es justo lo que ocurre!
