Si $\lim_{x\to 0} \frac{x^2 \sin (bx)}{ax-\sin x}=1$ entonces halle $a,b$

Question

$$\lim_{x\to 0} \frac{x^2 \frac{\sin bx}{bx} (bx)}{x(\frac{ax}{x}-\frac{\sin x}{x})}$$ $$=\lim_{x\to 0} \frac{bx^2 \frac{\sin bx}{bx}}{a-\frac{\sin x}{x}}$$ $$=0$$

Lo cual es obviamente erróneo. Creo que sufro de falta de claridad conceptual en los límites, ¿qué es exactamente lo que falla en esta pregunta?

Answer 1

El límite en su segundo paso da cero sólo para $a\neq 1$ por lo que necesitamos $a=1$ como condición.

Podemos proceder como sigue, ya que tenemos que $b\neq 0$ y

$$\frac{x^2 \sin (bx)}{ax-\sin x}=\frac{\sin bx}{bx}\frac{bx^3}{ax-\sin x}$$

y puesto que $\frac{\sin bx}{bx} \to 1$ necesitamos $\frac{bx^3}{ax-\sin x} \to 1$ lo que implica $a=1$ y finalmente obtenemos

$$b=\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$$

que puede hallarse fácilmente por l'Hopital o por la expansión de Taylor.

Answer 2

Pista:

$$\dfrac{x^2\sin bx}{ax-\sin x}=b\cdot\dfrac{\sin bx}{bx}\cdot\dfrac1{\dfrac{a-1}{x^2}+\dfrac{x-\sin x}{x^3}}$$

Ahora con ¿Se pueden resolver todos los límites sin la regla de L'Hôpital o la expansión en serie?

$a-1$ debe ser $=0$

Answer 3

$$L=\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin bx}{ax-\sin x}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2(bx-b^3x^3/6+...)}{ax-x+x^3/6}=\lim_{x\to 0} \frac{bx^3-b^5 x^5/6}{ax-x+x^3/6}$$ Si $L=1$ entonces $a=1,b=1/6.$