Desarrollar la intuición matemática

Question

Soy un estudiante de ingeniería, que actualmente está trabajando en los cursos de matemáticas fundamentales.

Hasta ahora me ha ido razonablemente bien -la mayoría de las veces con sobresaliente y un par de notables en Álgebra, Estadística, Precálculo y Cálculo I (actualmente estoy luchando bastante en Cálculo II; así que sólo el tiempo (y el sudor; todavía no hay sangre ni lágrimas) dirá si puedo mantener mi rendimiento académico después de este curso.

Sin embargo, aunque mi colegio es bueno y está bien clasificado entre los colegios comunitarios, sigue siendo un colegio comunitario. Ninguno de los cursos profundiza demasiado en ninguno de los temas que tratamos. Se trata de enseñarnos técnicas y métodos para resolver problemas (tampoco problemas extraordinariamente difíciles). No es que los instructores no sean buenos - muchos son bastante buenos y ciertamente saben de matemáticas. Pero simplemente no hay tiempo para dedicar a ningún tema individual. Cubrimos todas las técnicas de integración que se enseñan en este nivel (con la excepción de las integrales impropias) en unas 2 semanas, o 8 reuniones de clase.

A pesar de ello (o tal vez porque me he dado cuenta de que gran parte de la responsabilidad de aprender el resto recae sobre mí), he desarrollado realmente una admiración y un amor por las matemáticas. No lo suficiente como para cambiar de carrera; todavía tengo un deseo abrumador de construir robots. ;)

Pero realmente quiero maestro los temas de matemáticas a los que me expongo, para aprenderlos realmente a fondo y a un nivel profundo, no sólo porque cuanto mejor lo haga, mejor ingeniero seré (espero), sino también porque estoy realmente asombrado por lo genial que son las matemáticas.

Así que mi pregunta es: ¿cómo puedo desarrollar un pensamiento y un razonamiento matemático más hábil, una mejor intuición matemática?

Ninguna de mis clases se ha basado en pruebas, todavía. ¿Empezar a aprender a construir pruebas ayudará a que mis habilidades intuitivas crezcan más rápido?

Por ejemplo, he estado estudiando (y luchando con un lote ) secuencias y series infinitas, y cómo representar funciones como series de potencia, taylor y maclaurin.

He hecho algunos progresos, pero estoy avanzando muy lentamente. Cuando miro una fórmula como:

$$P_0(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2^{2n} n!^2}$$

o incluso una más simple, como:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n-1}}{n!}$$

Me cuesta mucho ver más allá de la maraña de variables y constantes el patrón que describen. Quiero llegar al punto en el que pueda ver la matriz ;) (el tipo de película, no el tipo de hoja de cálculo).

Es una broma, por supuesto, pero en serio, mientras que un matemático puede mirar una matriz y ver una estructura matemática, yo tengo que pensar mucho, y a veces esbozar una estructura real, para ver una matriz como algo más que una gran tabla de números.

Si aprender a demostrar teoremas no es la respuesta, (o la respuesta completa), ¿cuáles son algunas cosas que puedes intentar para ayudar a aumentar tu capacidad de pensar matemáticamente / lógicamente sobre los conceptos en el cálculo, y las matemáticas en general?

Answer 1

Uno de mis profesores siempre me decía "si no sabes definiciones, no sabes matemáticas". En aquel momento me molestó bastante, pero tenía toda la razón. La única forma de aprender matemáticas es tener los fundamentos claros frío. Esto implica tanto un lado riguroso, (memorizarlos es un buen comienzo) como un lado intuitivo. Así que a nivel de entrada, recomiendo encarecidamente pasar mucho tiempo con las definiciones. Los teoremas están bien y pueden ayudarte a entender la relación entre las definiciones. Pero en cuanto a la intuición, no te sumerjas en la mecánica de los teoremas demasiado pronto.

Algunas de las más importantes del cálculo son límite, serie de Taylor, integral, derivada/diferenciable, abierta/cerrada, par/impar y continua. Si las conoces, probablemente puedas hablar con cualquier persona de cálculo.

La única manera de construir su comprensión intuitiva es fracasar. Equivocarse es el primer paso para no equivocarse del todo. Eso significa probar mucho. Haz tus deberes con cuidado. Intenta hacer preguntas de seguimiento. Un buen plan de estudios puede ayudar a reducir la cantidad de tiempo que se necesita, tendrás que ser paciente pase lo que pase. Haz ejemplos. Haz ejemplos difíciles. Haz más ejemplos. Haga ejemplos contrarios. No te conformes con el "bueno", $0$ satisface la ecuación, así que probablemente esté bien". Todos hemos hecho eso, pero es una mala práctica.

Sabes que estás en el camino correcto cuando puedes ver por qué una definición fue elegida de la manera en que lo fue. Ese es el verdadero corazón de la intuición para las definiciones. Por ejemplo, ¿por qué los coeficientes de las series de Taylor tienen que ser como son? ¿Qué propiedades queremos de una serie de Taylor? Bueno, los polinomios son increíbles y sencillos. Así que usemos polinomios para aproximar cosas. Vale... ¿pero cómo podemos elegir buenas aproximaciones? Resulta que tiene algo que ver con hacer la $n^{\text{th}}$ derivados tienen el valor adecuado. Vale la pena entender cómo funciona.

Parece que vas por buen camino. La mitad de la batalla es querer hacerlo. La otra mitad es el trabajo.

Además, este sitio es un buen recurso. Aprender a hacer buenas preguntas aquí te será súper útil.

Answer 2

La intuición y la lógica no son lo mismo. Por ejemplo, la idea de que $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0$$ ¿Qué significa esto? Intuitivamente, puedes imaginar una gráfica de la función y ver que se acerca cada vez más a $0$ pero ¿quién puede decir que el límite no es realmente $0.0001$ ? Para demostrar que no es así, se necesita un definición formal de lo que es realmente un límite, y tienes que demostrar lógicamente que el límite de esta función se ajusta a esa definición. Hacer la prueba puede parecer menos intuitivo que simplemente observar que la función se aproxima $0$ .

Para construir la intuición, lo que hay que hacer es aprender a visualizar. Por ejemplo, la primera vez que me pidieron que determinara si $n^n$ o $n!$ sería mayor, me imaginé las expresiones como \begin{gather} n^n=n\times n\times\ldots\times n\\ n!=1\times 2\times\ldots\times n \end{gather} Claramente, $n^n>n!$ . Después de comprender la parte intuitiva de un concepto, puedes demostrarlo para verificar tu intuición. La visualización te ayudará a entender tus pruebas porque tendrás una idea de cómo proceder con ellas. Puedes mejorar tu visualización mirando gráficos y diagramas de conceptos.

Algunos matemáticos se opondrían a confiar en la intuición por encima de la lógica, ya que algunas afirmaciones que parecen verdaderas a primera vista son en realidad falsas. Pero como estudiante no matemático que trata de entender temas ya estudiados, no debería preocuparse por esto.

Yo recomendaría hacer todos los cálculos sólo cuando esté absolutamente seguro de que los conceptos tienen sentido . Trata de entender intuitivamente lo que dicen tus libros, y si eso falla busca una prueba. Cuando encuentres una prueba, repasa cada paso y asegúrate de que puedes ver por qué una afirmación se deduce de la siguiente. Y, por último, hacer muchos problemas no hace daño, porque te expone a las complejidades de una idea. Pero no pierdas el tiempo haciendo problemas que no te supongan un reto.

Answer 3

Puedes comprobar mi respuesta aquí .